[論文レビュー] Albanese and Picard 1-motives

Luca Barbieri-Viale, Vasudevan Srinivas|ArXiv.org|Jun 24, 1999

Mathematics and Applications被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、特徴標数 0 の体上の代数的多様体に対して、古典的なアーベル・アーベル多様体とピカード多様体を一般化する代数的に定義された 1-モチーフ（アーベル・プラス、アーベル・マイナス、ピカード・プラス、ピカード・マイナス 1-モチーフ）を構成する。デリーニの予想を証明し、ホッジ、ℓ-進、ド・ラーム実現を通じて、$H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$、および $H_1(X,\mathbb{Z})$ の torsion-free 部分が実現されることを示し、普遍性と函子的性質を確立する。

ABSTRACT

We describe algebraically defined cohomological and homological Albanese and Picard 1-motives (or mixed motives) of any algebraic variety in characteristic zero, generalizing the classical Albanese and Picard varieties. We compute Hodge, l-adic and De Rham realizations proving Deligne's conjecture for the concerned mixed Hodge structures. We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological 1-motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese 1-motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get 'motivic' Gysin maps for projective local complete intersection morphisms. This paper is an extended version of our preliminary Comptes Rendus Note, Academie des Sciences, Paris, Vol. 326, 1998.

研究の動機と目的

• 特徴標数 0 の体上の代数的多様体に対して、古典的なアーベル多様体とピカード多様体を一般化する代数的に定義された 1-モチーフ（Alb⁺(X)、Alb⁻(X)、Pic⁺(X)、Pic⁻(X)）を構成すること。
• これらの 1-モチーフが、ホッジ、ℓ-進、ド・ラーム実現を通じて、$H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$、$H_1(X,\mathbb{Z})$ の torsion-free 部分を実現することを証明し、デリーニの予想を裏付けること。
• コホモロジー的アーベル 1-モチーフ Alb⁺(X) が、ゼロサイクルのレヴィン＝ヴァイベル・チャウ群から半アーベル多様体へのアーベル・ジャコビ写像の終域として普遍的であることの確立。
• アーベル 1-モチーフの普遍性を用いて、局所完遂交差射影的モルフィズムに対してモチーフ的ギジン写像を定義すること。

提案手法

• 相対ピカード函手とコンパクト化の単体的分解を用いて、コホモロジー的アーベル 1-モチーフ Alb⁺(X) とホモロジー的ピカード 1-モチーブ Pic⁻(X) を定義する。
• 多様体 $X$ の混合ホッジ構造、ℓ-進コホモロジー、ド・ラームコホモロジーをそれぞれ用いて、1-モチーフのホッジ実現、ℓ-進実現、ド・ラーム実現を構成する。
• 図式の追いかけとピカード函手の代表可能性を用いて、異なる分解やコンパクト化に依存しないことの証明。
• 基底変換と引き戻しの下での 1-モチーフの振る舞いを分析することで、函手的性質と射影バンドルに関する不変性を確立する。
• Alb⁺(X) の普遍性を用いて、アーベル・ジャコビ写像の終域として、射影的局所完遂交差モルフィズムに対するモチーフ的ギジン写像を定義する。
• fpqc シェーブーの理論とピカード函手の代表可能性を用いて、1-モチーフの代数的構造とその実現の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴標数 0 の体上の代数的多様体に対して、$H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$、$H_1(X,\mathbb{Z})$ の torsion-free 部分を実現する代数的に定義された 1-モチーフを構成可能か？
• RQ2 これらの 1-モチーフは、ホッジ、ℓ-進、ド・ラーム実現と、それに対応するコホモロジー群との整合性を満たすデリーニの予想を満たすか？
• RQ3 コホモロジー的アーベル 1-モチーフ Alb⁺(X) は、ゼロサイクルのレヴィン＝ヴァイベル・チャウ群から半アーベル多様体への正則なホモモーフィズムの普遍的対象か？
• RQ4 アーベル 1-モチーフの普遍性を用いて、射影的局所完遂交差モルフィズムに対してモチーフ的ギジン写像を定義可能か？
• RQ5 1-モチーフは射影バンドルおよびベクトルバンドルの構成に関してどのように振る舞い、それらの構成に対して不変か？

主な発見

• コホモロジー的アーベル 1-モチーフ Alb⁺(X) は、ホモロジー的ピカード 1-モチーフ Pic⁻(X) のカルティエ双対として構成され、両者とも基本体上で代数的に定義されている。
• Alb⁺(X) のホッジ実現は、$H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$ の torsion-free 部分と同型であり、同様に Pic⁻(X) と $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$ の間にも双対性が成り立つ。
• 1-モチーフの ℓ-進およびド・ラーム実現は、それぞれ $X$ の ℓ-進およびド・ラームコホモロジー群と同型であり、比較同型と整合的である。
• ゼロサイクルのレヴィン＝ヴァイベル・チャウ群から Alb⁺(X) へのアーベル・ジャコビ写像は、半アーベル多様体への正則なホモモーフィズムの普遍的対象である。
• アーベル 1-モチーフの普遍性を用いて、射影的局所完遂交差モルフィズムに対してモチーフ的ギジン写像を定義し、古典的ギジン写像を一般化する。
• 1-モチーフは射影バンドルおよびベクトルバンドルの構成に関して不変であり、ホモトピー的不変性を満たすことが、図式の追いかけとピカード函手の代表可能性により示された。