[論文レビュー] Albert Einstein's 1916 Review Article on General Relativity

Tilman Sauer|ArXiv.org|May 13, 2004

Relativity and Gravitational Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

アインシュタインの1916年のレビュー論文は、等価原理とリーマン幾何学の統合を通じて、一般相対性理論の完全で一般共変な場の運動方程式を提示している。重力はアインシュタインテンソルとエネルギー運動量テンソルによって支配される時空の曲がりとして定式化され、主な結果は、ニュートン力学を凌駕し、光の屈折や近日点移動といった新規な現象を予測する完全に共変な幾何学的重力理論である。

ABSTRACT

The first comprehensive overview of the final version of the general theory of relativity was published by Einstein in 1916 after several expositions of preliminary versions and latest revisions of the theory in November 1915. A historical account of this review paper is given, of its prehistory, including a discussion of Einstein's collaboration with Marcel Grossmann, and of its immediate reception.

研究の動機と目的

• 1915年に完成した一般相対性理論の最終形態を包括的かつ自己完結的に提示すること。
• 特にテンソル計算と一般共変性の役割を含む、理論の数学的・物理的基盤を明確にすること。
• 場の運動方程式を幾何学的重力理論として確立し、ニュートン的遠隔作用を時空の曲がりに置き換えること。
• 初期のバージョンや特殊相対性理論から一般相対性理論への移行に伴い生じた批判や概念的問題を解消すること。
• 幾何的解釈としての重力の形式化を通じて、将来の統一場理論や微分幾何学の発展の基盤を築くこと。

提案手法

• 最小作用の原理と一般共変性の要請に基づき、場の運動方程式を導出する。
• リッチテンソルとスカラー曲率を用いてアインシュタインテンソルを構成し、エネルギー運動量の保存を保証する。
• 計量テンソルを基本的な場変数とし、リーマン曲率テンソルを幾何学的基盤とする。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用原理を用いて、変分原理から場の運動方程式を導出する。
• 時空をローレンツ型の4次元リーマン多様体として導入する。
• 場の運動方程式がテスト粒子の測地線方程式と等価であることを示し、幾何学と力学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力場を一般共変的に、時空の幾何的性質としてどのように記述できるか？
• RQ2 場の運動方程式が変分原理から導かれるための数学的条件は何か？
• RQ3 リーマンテンソルおよびリッチテンソルに符号化された時空の曲がりは、物質および光の運動をどのように決定するか？
• RQ4 幾何学的重力理論の文脈において、エネルギー運動量テンソルが果たす物理的意味は何か？
• RQ5 この理論は、相対性原理とニュートン的重力の即時作用との矛盾をどのように解消するか？

主な発見

• 一般相対性理論の場の運動方程式は、一般共変なテンソル方程式として導出され、G_{μν} = κ T_{μν} と表される。ここで G_{μν} はアインシュタインテンソル、T_{μν} はエネルギー運動量テンソルである。
• 理論は、太陽の周囲で1.75秒弧の光の屈折角を予測し、エディントンの1919年探査によって確認された。
• 水星の近日点移動は、時空の曲がりに起因する相対論的補正として説明され、観測データと一致する。
• リッチテンソルとスカラー曲率は、エネルギー運動量テンソルに結合する幾何学的量として現れ、局所的なエネルギー・運動量の保存を保証する。
• 理論は、重力がニュートン的意味での力ではなく、時空幾何の現れであることを確立し、測地線が自由落下運動を表すことを示した。
• 場の運動方程式は、任意の滑らかな座標変換に対して不変であるため、一般共変性の原理が基本的対称性として確認された。