[論文レビュー] Alcoves et p-rang des variétés abéliennes

B. C. Ngô, Alain Genestier|ArXiv.org|Jul 31, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特徴が $p$ のアーベル多様体の $p$-ランクと、主に極化されたアーベル多様体の Iwahori 構造を持つモジュライ空間の特異ファイバーの Kottwitz-Rapoport 分離について、明確な関係を確立する。局所モデルとアコフ・ウォークの幾何学を用いて、$p$-ランクが次元に等しい（つまり通常の局所）アーベル多様体の集合が、特異ファイバーで稠密であることを証明し、de Jong が提起した疑問に答えている。

ABSTRACT

We study the relation between the $p$-rank of abelian varieties in characteristic $p$ and the Kottwitz-Rapoport's stratification of the special fiber modulo $p$ of the moduli space of principally polarized abelian varieties with Iwahori type level structure on $p$. In particular, the density of the ordinary locus in that special fiber is proved.

研究の動機と目的

• 特徴が $p$ のアーベル多様体の $p$-ランクと、主に極化されたアーベル多様体の Iwahori 構造を持つモジュライ空間の特異ファイバーにおける Kottwitz-Rapoport 分離との関係を明確にすること。
• 特異ファイバー内のどの分離が、最大の $p$-ランク（つまり通常の局所）を持つアーベル多様体に対応するかを特定すること。
• 通常の局所（$p$-ランクが次元 $n$ に等しいアーベル多様体の集合）が、モジュライ空間の特異ファイバーで稠密であることを証明し、de Jong が提起した疑問に答えること。
• シンプレクティック群におけるアコフ・ウォークとワイル群の元を用いた、$p$-ランクの幾何学的かつ組合的記述を確立すること。

提案手法

• Rapoport-Zink の局所モデル構成を用いて、Iwahori 構造を持つアーベル多様体のモジュライ空間を扱う。
• 特異ファイバーを、Iwahori部分群の作用による軌道の和集合として記述し、アフィンワイル群の元によってインデックス化する。
• 特異ファイバーを $\mathrm{GSp}(2n)$ のアフィンフラッグ多様体におけるシューベルト多様体の和集合として特定することに依拠する。
• アコフと $\mu$-許容性条件の理論を用いて、ワイル群の元による分離の分類を行う。
• ワイル群の元 $w$ の行列表現における $t$-因子の数を数えることで、モジュライ空間内の点の $p$-ランクを計算する。
• 特に、$p$-ランクは $w(e_i) = t e_i$ を満たす添え字 $i$ の数に等しく、これは $w$ の行列の対角成分における $t$ の数に一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kottwitz-Rapoport 分離の特異ファイバー内のどの分離が、最大の $p$-ランクを持つアーベル多様体に対応するか？
• RQ2 アーベル多様体の $p$-ランクは、アフィンワイル群における関連するワイル群の元の組合的構造とどのように関係するか？
• RQ3 通常の局所（$p$-ランクが次元 $n$ に等しいアーベル多様体の集合）は、モジュライ空間の特異ファイバーで稠密か？
• RQ4 点の局所モデルに関連するアコフ・ウォークまたはワイル群の元から、$p$-ランクを純粋に組合的に行いに計算できるか？
• RQ5 関連する分離が通常であるためのワイル群の元 $w$ に対する正確な条件は何か？

主な発見

• ワイル群の元 $w$ によってインデックスづけられる分離に対応するアーベル多様体の $p$-ランクは、$w$ の行列表現における対角成分の $t$-因子の数 $r(w)$ に等しい。
• 通常の分離は、$y \in W(\mathrm{GSp}(2n))$ に対して $w = t_{y\mu}$ と表されるような、アフィンワイル群内の移動（翻訳）要素によってインデックスづけられるものに限る。
• 通常の局所 $\mathcal{A}^{\mathrm{ord}}$ は、ワイル群内の移動要素に対応する分離 $\mathcal{A}_{t_{y\mu}}$ の和集合である。
• Kottwitz-Rapoport の分離の閉包に関する定理の帰結として、通常の局所は特異ファイバー $\mathcal{A}_s$ で稠密である。
• Kottwitz-Rapoport 分離の各分離において $p$-ランクは一定であり、最大の $p$-ランク $n$ は、ちょうど通常の分離で達成される。
• この結果により、de Jong が提起した、通常の局所が Iwahori 構造を持つモジュライ空間の特異ファイバーで稠密であるという予想が裏付けられる。