[論文レビュー] Alg\\`ebres et cog\\`ebres de Gerstenhaber et cohomologie de Chevalley-Harrison

Walid Aloulou, Didier Arnal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Gerstenhaber代数の包絡G∞-代数を構成し、シフトされた、次数付き構造を用いてChevalley-Harrisonコホモロジー作用素を明示的に定義する。同論文は、ℝᵈ上の同次多ベクトル場の部分代数において、Chevalley-Harrisonコホモロジー群の3次元における非自明性を、コホモロジー微分を通過する根本的な3-コサイクルを用いて証明する。

ABSTRACT

The fundamental example of Gerstenhaber algebra is the space $T_{poly}({\\mathbb R}^d)$ of polyvector fields on $\\mathbb{R}^d$, equipped with the wedge product and the Schouten bracket. In this paper, we explicitely describe what is the enveloping $G_\\infty$ algebra of a Gerstenhaber algebra $\\mathcal{G}$. This structure gives us a definition of the Chevalley-Harrison cohomology operator for $\\mathcal{G}$. We finally show the nontriviality of a Chevalley-Harrison cohomology group for a natural Gerstenhaber subalgebra in $T_{poly}({\\mathbb R}^d)$.

研究の動機と目的

• Gerstenhaber代数の包絡G∞-代数を明示的に構成し、Chevalley-Harrisonコホモロジーの体系的な定義を可能にする。
• Koszul符号規則に従うGerstenhaber代数の基本的演算に起因する符号表記および次数付き構造の明確化。
• ℝᵈ上の多ベクトル場の自然な、有限次元のGerstenhaber部分代数におけるChevalley-Harrisonコホモロジーの非自明性の提示。
• ℝᵈ上のベクトル場に対する根本的Chevalley 3-コサイクルが、ℝに係数をとるChevalley-Harrison複体において非コバウンダリーとして存続することの証明。

提案手法

• Gerstenhaber代数Gに次数シフトG[1]を施し、次数付き交換法則および反交換法則の公理における符号の不一致を解消する。
• 自由N+G[1]-余代数を構成し、Schouten括弧積および外積を、この構造上の余微分作用素へ拡張する。
• Chevalley-Harrison微分dCHを、Lie括弧を符号化する余微分ℓと外積を符号化する余微分mの和dCH = ℓ + mとして定義し、(m + ℓ)² = 0を満たすようにする。
• 対称代数S⁺(N⁺G[1])[1]の構造を用いて、コチェーンおよびコホモロジー複体を定義する。
• 同次ベクトル場上で定義された基本的3-コチェーンf³₁₁₁におけるdCHの作用を明示的に計算する。
• f³₁₁₁がコサイクル（dCHf = 0）であることを確認し、任意の2-コチェーンg²₁₁についてdCH(g²₁₁)として書けないことを示すことで、コバウンダリーでないことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gerstenhaber代数のChevalley-Harrisonコホモロジーは、G∞-代数構造を用いてどのように体系的に定義可能か？
• RQ2 次数シフトG[1]およびそれに伴う余微分構造が、Gerstenhaber代数コホモロジーにおける符号の曖昧さをどのように解消するか？
• RQ3 ℝᵈ上のベクトル場に対する根本的Chevalley 3-コサイクルは、同次多ベクトル場の部分代数におけるChevalley-Harrisonコホモロジーにおいて、非自明なコサイクルとして存続するか？
• RQ4 Tpoly^hom(ℝᵈ)のコホモロジーが、非コバウンダリーなコサイクルの明示的構成によって非自明であることが示せるか？

主な発見

• Gerstenhaber代数の包絡G∞-代数は、余微分mおよびℓを備えた対称代数S⁺(N⁺G[1])[1]を用いて明示的に構成される。
• Chevalley-Harrison微分dCHはdCH = dℓ + dmとして定義され、dℓおよびdmは(dℓ + dm)² = 0を満たす余微分である。
• f³₁₁₁ ∈ C³₁₁₁で定義された根本的3-コサイクルは、f(α₁,α₂,α₃) = ∂ᵢ₃αᵢ₁¹ ∂ᵢ₁αᵢ₂² ∂ᵢ₂αᵢ₃³ − ∂ᵢ₂αᵢ₁¹ ∂ᵢ₁αᵢ₃³ ∂ᵢ₃αᵢ₂²により与えられ、Chevalley-Harrison複体における非自明なコサイクルである。
• このコサイクルf³₁₁₁は、任意の2-コチェーンg²₁₁についてdCH(g²₁₁)として表現できないため非自明である。これは、対応するChevalleyコサイクルが既に非自明であることが知られていることから示される。
• H³_{CH}(Tpoly^hom(ℝᵈ), ℝ)は非自明であり、非コバウンダリーな3-コサイクルの存在によって示された。
• Tpoly^hom(ℝᵈ)への制限により、微分における問題的な項が排除され、根本的3-コサイクルが非自明な類として存続する。