[論文レビュー] Algebra in superextension of groups, II: cancelativity and centers

Тарас Банах, Volodymyr Gavrylkiv|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2008

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、可算および有限群 X の超拡張 λ(X) の代数的構造に注目し、消去可能性と中心に関する考察を行う。可算無限群に対しては、λ(X) の代数的中心が X の中心と一致することを示し、3 から 5 までのサイズの有限群に対しては、λ(X) の代数的中心が X の中心を真に含むことを示しており、有限の場合と無限の場合の主要な相違点を明らかにしている。

ABSTRACT

Given a countable group $X$ we study the algebraic structure of its superextension $λ(X)$. This is a right-topological semigroup consisting of all maximal linked systems on $X$ endowed with the operation $$\mathcal A\circ\mathcal B=\{C\subset X:\{x\in X:x^{-1}C\in\mathcal B\}\in\mathcal A\}$$ that extends the group operation of $X$. We show that the subsemigroup $λ^\circ(X)$ of free maximal linked systems contains an open dense subset of right cancelable elements. Also we prove that the topological center of $λ(X)$ coincides with the subsemigroup $λ^\bullet(X)$ of all maximal linked systems with finite support. This result is applied to show that the algebraic center of $λ(X)$ coincides with the algebraic center of $X$ provided $X$ is countably infinite. On the other hand, for finite groups $X$ of order $3\le|X|\le5$ the algebraic center of $λ(X)$ is strictly larger than the algebraic center of $X$.

研究の動機と目的

• 可算群 X の超拡張 λ(X) における右消去可能要素の集合を特徴付けること。
• λ(X) の位相的中心を特定し、特に有限サポートを持つ最大連結系との関係を明らかにすること。
• λ(X) の代数的中心を調査し、それらを元の群 X の代数的中心と比較すること。
• すべての無限群に対して、λ(X) の代数的中心が X のそれに一致するかどうかを解明すること。
• 有限群に対して、非主な中心的要素が λ(X) に存在するか、その構造を調査すること。

提案手法

• 本稿は、群の演算を拡張した、A∘B = {C ⊆ X : {x ∈ X : x⁻¹C ∈ B} ∈ A} で定義される超拡張上の演算を用いる。
• λ(X) を包含超空間 G(X) 内の右位相的半群としての構造に注目し、自由および有限サポートを持つ最大連結系に焦点を当てる。
• 左移動および右移動の連続性といった位相的道具を用いて、位相的中心に属する要素を同定し、特に中心的要素では l_C = r_C が成り立つことを利用している。
• 消去可能性の証明は、非消去性の仮定のもとで矛盾を導くために、制御された交差を持つ集合族（例：T⁻¹T ∩ BS⁻¹ ⊆ {e}）を構成することに依拠している。
• 代数的中心の議論では、中心的要素は位相的中心に属するため λ•(X) に属し、X が無限の場合にはそれらが主な超フィルターでなければならないという構造的制約を適用している。
• 重要な技術的道具として、命題 4.1 が用いられ、ある種の集合の配置が、中心的かつ非主な最大連結系である場合に矛盾を引き起こすことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての可算無限群 X に対して、λ(X) の代数的中心が X の代数的中心と一致するか？
• RQ2 3 ≤ |X| ≤ 5 である有限群 X に対して、λ(X) は非主な超フィルターでない中心的要素を含むか？
• RQ3 λ(X) の位相的中心は何か？ また、有限サポートを持つ最大連結系の部分半群 λ•(X) とどのように関係するか？
• RQ4 λ(X) 内の非主な最大連結系がすべての超フィルターと可換になることは可能か？ どのような条件下で可能か？
• RQ5 |X| > 5 である有限アーベル群 X に対して、主な超フィルターを超える中心的要素を持つものはあるか？

主な発見

• 任意の可算無限群 X に対して、λ(X) の代数的中心は X の代数的中心に正確に一致する。
• 3 ≤ |X| ≤ 5 である有限群 X に対して、λ(X) の代数的中心は X の代数的中心を真に含み、非主な最大連結系を含む。
• すべての高々可算な群 X に対して、λ(X) の位相的中心は、有限サポートを持つ最大連結系の部分半群 λ•(X) と一致する。
• X が可算であるとき、λ(X) 内の右消去可能要素の集合は、自由な最大連結系の部分半群 λ°(X) と開かつ稠密な交わりを持つ。
• 元の集合が要素ごとに可換である限り、β(X) 内のすべての超フィルターと可換な非主な最大連結系が λ(X) 内に存在する。
• X が無限で、かつ非主な有限サポートを持つ最大連結系が中心的であるという仮定のもとで、矛盾を構成することで、それが中心的であることは不可能であることを証明している。