[論文レビュー] Algebra of Hyperbolic Band Theory under Magnetic Field

Kazuki Ikeda, Yoshiyuki Matsuki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一様な磁場下における双曲格子上の磁気Fuchs群および双曲的磁気Bloch状態を導入し、ユークリッドバンド理論を負の曲率空間へ一般化する。これらの状態は重み $|2B|$ の自己形式に対応し、基本領域を貫通する磁束が $φ = 4(g-1)π B$ として量子化されることにより、曲がった空間における磁場を伴う双曲的バンド理論の新しい代数的枠組みを確立する。

ABSTRACT

We explore algebras associated with the hyperbolic band theory under a magnetic field for the first time. We define the magnetic Fuchsian group associated with a higher genus Riemann surface. By imposing the magnetic boundary conditions for the hyperbolic Bloch states, we construct the hyperbolic magnetic Bloch states and investigate their energy spectrum. We give a connection between such magnetic Bloch states and automorphic forms. Our theory is a general extension of the conventional algebra associated with the band theory defined on a Euclidean lattice/space into that of the band theory on a general hyperbolic lattice/Riemann surface.

研究の動機と目的

• 2次以上の genus $g \geq 2$ のリーマン面における双曲的格子に、磁場を適用した場合の従来のバンド理論をユークリッド格子から拡張すること。
• 磁気並進対称性とトポロジカル不変量を組み込んだ、双曲的バンド理論の数学的枠組みを構築すること。
• 双曲的磁気Bloch状態と、Poincaré上半平面における非ゼロの重みの自己形式との間の関係を確立すること。
• 磁束と境界条件を符号化する $PSL_2(\mathbb{R})$ 群の磁気版 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$ への代数的構造の一般化。
• cQED や量子シミュレータなどの量子プラットフォームで双曲的バンド理論を検証する基盤を提供すること。

提案手法

• ゲージポテンシャル $A = \frac{B}{y}dx$ を介して磁気補正を含む、ベクトル場 $S$, $T$, $U$ で生成される磁気 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$ リー群を定義する。
• 磁気生成子 $\hat{S}_B$, $\hat{T}_B$, $\hat{U}_B$ の組み合わせの指数関数として、磁気Fuchs群 $\hat{\gamma}_j^B$ を構成し、磁気並進対称性を符号化する。
• 磁気Fuchs群を用いて双曲的Bloch状態に磁気境界条件を課し、位相因子 $e^{ik_j}$ を持つ準周期性を保証する。
• 磁気フラックス条件 $\hat{\gamma}_{2g}^B \cdots \hat{\gamma}_1^B (\hat{\gamma}_{2g}^B)^{-1} \cdots (\hat{\gamma}_1^B)^{-1} = e^{i4(g-1)\pi B}$ を導出する。これはガウス＝ボンネの定理を一般化する。
• 自己形式 $f$ の重み $|2B|$ と位相調制関数 $u(z)$ の積として、双曲的磁気Bloch状態 $\psi_{0,k}$ を構成し、磁気Fuchs群に対する不変性を保証する。
• 変換則 $\check{g}f(z) = j(g,z)^{2B}f(gz)$ を用い、$g \in SL_2(\mathbb{R})$ に対して、重み $-2B$ の自己形式が磁気群作用に対して一貫して変換されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンド理論の代数的構造を、ユークリッド空間から磁場を伴う双曲的格子へどのように一般化できるか？
• RQ2 双曲空間における磁気並進群の正しい一般化は何か？ また、これは genus $g \geq 2$ のリーマン面の基本群とどのように関係するか？
• RQ3 双曲的磁気Bloch状態は磁気Fuchs群の下でどのように変換され、そのトポロジカルな特徴づけは何か？
• RQ4 自己形式は、磁場を伴う双曲的格子上を運動する電子のエネルギー準位を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\{4g,4g\}$ ティリングの基本領域を通る磁束は、Bloch状態の量子数とどのように関係するか？

主な発見

• 磁気Fuchs群 $\hat{\gamma}_j^B$ は、ゲージ場 $A = \frac{B}{y}dx$ を介して磁気並進対称性を組み込んだ、従来のFuchs群の非自明な拡張として定義される。
• genus-$g$ の双曲的曲面の基本領域を通る磁束は $φ = 4(g-1)π B$ として量子化され、これは磁気Fuchs群生成子の交換関係に現れる。
• $B = 1/q$ のとき、群 $PSL_2(\mathbb{R})$ は磁気 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$ 群の $q$ 重被覆として作用し、トーラスにおける磁気並進構造を双曲的曲面へ一般化する。
• 双曲的磁気Bloch状態 $\psi_{0,k}$ は $\psi_{0,k}(z) = \psi_k(z) u(z)$ として構成され、$u(z)$ は重み $|2B|$ の自己形式 $f$ から導かれる位相調制関数であり、磁気Fuchs群に対する不変性を保証する。
• 磁気ハミルトニアン $H'$ は生成子 $\check{S}, \check{T}, \check{U}$ と可換であり、そのスペクトルは重み $|2B|$ の自己形式 $f$ によって決定され、量子力学とモジュラー形式を結びつける。
• $2B \in \mathbb{Z}$ のとき、関数 $u(z)$ は正しく定義され、$\hat{\gamma}_j^B u(z) = u(z)$ が成り立ち、Bloch状態 $\psi_{0,k}$ が位相 $e^{ik_j}$ を持つ磁気Bloch条件を満たす。