[論文レビュー] Algebra of Noncommutative Riemann Surfaces

Tadafumi Ohsaku|ArXiv.org|Jun 21, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、変形量子化とWeyl順序付きスター積を用いて$z$-平面上での非可換複素解析を定式化することで、非可換リーマン面の代数的基盤を構築する。非可換性が結合則やポアソン恒等式といった標準的な代数的構造を破壊することを示し、複素幾何学における特異な性質を生じさせるとともに、非可換設定下でのコンformal写像およびタイヒミュラー理論の新たな定式化を可能にする。

ABSTRACT

We examine several algebraic properties of the noncommutive $z$-plane and Riemann surfaces. The starting point of our investigation is a two-dimensional noncommutative field theory, and the framework of the theory will be converted into that of a complex coordinate system. The basis of noncommutative complex analysis is obtained thoroughly, and the considerations on functional analysis are also given before performing the examination of the conformal mapping and the Teichmüller theory. (Keywords; Complex Analysis, Riemann Surfaces and Teichmüller Space, Functional Analysis, Deformation Quantization, Non-Commutative Geometry, Quantum Groups)

研究の動機と目的

• 非可換複素解析の厳密な代数的枠組みを$z$-平面上およびリーマン面に確立すること。
• 非可換性が複素幾何学の基本的構造（正則関数、コンフォーマル写像、タイヒミュラー理論など）に与える影響を調査すること。
• 非可換変形量子化の下で標準的な代数的性質（結合則、ポアソン恒等式など）がどのように崩壊するかを分析すること。
• 非可換複素構造が量子場理論および幾何的数論に与える影響を探索すること。
• 超多様体、クaternion、無限次元非可換複素多様体への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 定数の非可換パラメータ$H$を用いて、$[\sigma_a, \sigma_b] = iH_{ab}$を満たす$\mathbb{R}^2$上に2次元の非可換場理論を定式化する。
• 非可換座標の積を対称的に定義するため、Weyl順序を適用してスター積のエルミート性を保証する。
• Moyal-Weylの公式を用いてスター積を導入：$f \star g = f \exp\left(\frac{iH}{2} \frac{\partial}{\partial\sigma_1} \frac{\partial}{\partial\sigma_2} \right) g$、ポアソン括弧$\{f,g\}^{P.B.}_{\sigma_1,\sigma_2}$を伴う。
• 実座標形式を複素座標$z, \bar{z}$に変換し、$[z, \bar{z}] = iH$を用いて非可換複素多様体を定義する。
• 非可換$\mathbb{C}^2$の関数解析的構造および位相的性質（スター積級数の収束性など）を分析する。
• $[z_j, z_{j'}] = H^{jj'}_{(m)}$を用いて、$N$次元複素多様体への形式の拡張を行い、$N \to \infty$の極限を考察して無限次元構造を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面上の非可換性は、正則関数およびリーマン面の代数的・解析的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ2 非可換変形量子化の下で、標準的な複素解析的構造（コンフォーマル写像、タイヒミュラー理論など）はどのように変化するか？
• RQ3 通常の代数的恒等式（結合則、ヤコビ恒等式など）は、非可換複素幾何学においてどのような形で崩壊するか？
• RQ4 異なる$[z_j, z_{j'}]$の選び方によって、どのように非可換複素多様体の異なるクラスが生成されるか？
• RQ5 変形量子化は、結合則を満たさない、または除法体でない数体（クォータニオン、$p$-進数など）へ一般化可能か？

主な発見

• 非可換$z$-平面は、一般に$f(z)f(z)^{-1} \neq f(z)^{-1}f(z) = 1$であるため、$\mathbb{C}$の体公理を満たさず、標準的な逆元代数の崩壊を示している。
• スター積$f \star g$は$H$に関する形式的べき級数として定義され、$f$および$g$に依存する半径内で収束するが、非可換性のため結合則を満たさない。
• ポアソン括弧$\{f,g\}^{P.B.}_{\sigma_1,\sigma_2}$はスター積展開で保存されるが、非可換設定下ではヤコビ恒等式を満たさない。
• コンフォーマル変換$\varrho_1, \varrho_2, \varrho_3$は$\hbar$依存の変形を介して非可換設定に一般化され、時空の一般化された変形量子化を示唆する。
• 非可換複素多様体の代数的構造は、$[z_j, z_{j'}]$の選び方に極めて敏感であり、多様な異なる非可換幾何学が生じる。
• $N$次元非可換複素多様体の$N \to \infty$極限は、無限次元非可換複素幾何学の出発点を提供する。