[論文レビュー] Algebra of the Infrared: String Field Theoretic Structures in Massive ${\cal N}=(2,2)$ Field Theory In Two Dimensions

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、赤外線データ—真空状態、ソリトンの中心的荷重、ソリトン状態—を用いて、1+1次元の質量のある ${\cal N}=(2,2)$ 細胞理論における半超対称境界条件を記述するウェブベースの形式的枠組みを構築する。この形式的枠組みにより、相互作用および境界からの放射の振幅が $A_\infty$ および $L_\infty$ 代数の制約を満たすことが示された。この枠組みは、半直線および区間上のBPS状態を分類し、インターフェースの結合的演算子積を確立し、カテゴライズ化された壁越え公式を証明する。さらに、Landau-GinzburgモデルがホロモルフィックLefschetzファイブレーションを介してFukaya-Seidel $A_\infty$-圏を実現することを示した。

ABSTRACT

We introduce a "web-based formalism" for describing the category of half-supersymmetric boundary conditions in $1+1$ dimensional massive field theories with ${\cal N}=(2,2)$ supersymmetry and unbroken $U(1)_R$ symmetry. We show that the category can be completely constructed from data available in the far infrared, namely, the vacua, the central charges of soliton sectors, and the spaces of soliton states on $\mathbb{R}$, together with certain "interaction and boundary emission amplitudes". These amplitudes are shown to satisfy a system of algebraic constraints related to the theory of $A_\infty$ and $L_\infty$ algebras. The web-based formalism also gives a method of finding the BPS states for the theory on a half-line and on an interval. We investigate half-supersymmetric interfaces between theories and show that they have, in a certain sense, an associative "operator product." We derive a categorification of wall-crossing formulae. The example of Landau-Ginzburg theories is described in depth drawing on ideas from Morse theory, and its interpretation in terms of supersymmetric quantum mechanics. In this context we show that the web-based category is equivalent to a version of the Fukaya-Seidel $A_\infty$-category associated to a holomorphic Lefschetz fibration, and we describe unusual local operators that appear in massive Landau-Ginzburg theories. We indicate potential applications to the theory of surface defects in theories of class S and to the gauge-theoretic approach to knot homology.

研究の動機と目的

• 質量のある 1+1次元の ${\cal N}=(2,2)$ 細胞理論における半超対称境界条件の完全な記述を、赤外線領域のデータのみを用いて構築すること。
• このような理論における相互作用および境界からの放射の振幅を支配する代数的構造—特に $A_\infty$ および $L_\infty$ 代数—を同定すること。
• 半直線および区間上のBPS状態の文脈において、壁越え現象のカテゴライズ化を提供すること。
• 質量のあるLandau-Ginzburg理論における境界条件の圏と、ホロモルフィックLefschetzファイブレーションに関連するFukaya-Seidel $A_\infty$-圏との正確な対応関係を確立すること。
• 提案された形式的枠組みを用いて、クラスS理論における表面的欠陥およびゲージ理論的ケーブルホモロジーへの応用を検討すること。

提案手法

• 赤外線極限からのデータを用いて、ソリトン状態とその相互作用のネットワークとして境界条件を記述するウェブベースの形式的枠組みを導入する。
• $A_\infty$ および $L_\infty$ 代数の特徴である高次ホモトピー関係を満たす境界からの放射および相互作用の振幅を定義する。
• 真空状態データ、ソリトンセクターの中心的荷重、および $\mathbb{R}$ 上のソリトン状態空間からなる境界条件の圏を構成する。
• モース理論的および超対称的量子力学的手法を用いて、Landau-Ginzburgモデルとその関連するLefschetzファイブレーションを分析する。
• 得られた圏が、ホロモルフィックLefschetzファイブレーションに関連するFukaya-Seidel $A_\infty$-圏のバージョンと同値であることを示す。
• 半直線および区間上のBPS状態を分析することで、古典的な壁越え公式を一般化したカテゴライズ化された壁越え公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量のある ${\cal N}=(2,2)$ 理論における半超対称境界条件の圏は、赤外線領域のデータのみから完全に再構成可能か？
• RQ2 このような理論における相互作用および境界からの放射の振幅を支配する代数的構造は何か？ また、それらは $A_\infty$ および $L_\infty$ 代数とどのように関係するか？
• RQ3 半直線および区間上のBPS状態は、ウェブベースの形式的枠組みからどのように生じるのか？ そのカテゴライズ化された構造は何か？
• RQ4 質量のあるLandau-Ginzburg理論における境界条件の圏は、どの程度Fukaya-Seidel $A_\infty$-圏と同値とみなせるか？
• RQ5 この形式的枠組みを用いて、BPS状態のカテゴライズ化された壁越え公式を導出できるか？

主な発見

• 半超対称境界条件の圏は、赤外線極限における真空状態、ソリトンの中心的荷重、およびソリトン状態空間によって完全に決定される。
• 相互作用および境界からの放射の振幅は、$A_\infty$ および $L_\infty$ 代数の高次ホモトピー関係と同型な関係系を満たす。
• ウェブベースの形式的枠組みは、半直線および区間上のBPS状態を計算する手法を提供し、標準的なBPSスペクトルを一般化する。
• 理論間の半超対称インターフェースには、共形場理論における融合の概念を一般化した結合的演算子積構造が存在する。
• Landau-Ginzburg極限において、境界条件の圏はホロモルフィックLefschetzファイブレーションに関連するFukaya-Seidel $A_\infty$-圏と同値である。
• この形式的枠組みにより、古典的なKontsevich-Soibelmanの公式を境界条件およびソリトンセクターの文脈に一般化したカテゴライズ化された壁越え公式が得られる。