[論文レビュー] Algebra properties for Sobolev spaces- Applications to semilinear PDE's on manifolds

Nadine Badr, Frédéric Bernicot+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 19, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、熱核の点별ガウス型推定を仮定せず、非対角項の減衰推定とリーマン多様体上でのリーマン変換の $L^p$ 有界性を用いて、一般化されたソボレフ空間 $W^{s,p} \cap L^\infty$ の代数的性質を確立する。点対点のガウス型推定を必要としない。本稿では、2つの新規な手法—パラプロダクトと関数計算—を導入し、それらを用いて半線形偏微分方程式（シュレーディンガー方程式や熱方程式を含む）の適切な定義を、多様体の幾何的仮定を最小限に抑えて示す。

ABSTRACT

In this work, we aim to prove algebra properties for generalized Sobolev spaces $W^{s,p} \cap L^\infty$ on a Riemannian manifold, where $W^{s,p}$ is of Bessel-type $W^{s,p}:=(1+L)^{-s/m}(L^p)$ with an operator $L$ generating a heat semigroup satisfying off-diagonal decays. We don't require any assumption on the gradient of the semigroup. To do that, we propose two different approaches (one by a new kind of paraproducts and another one using functionals). We also give a chain rule and study the action of nonlinearities on these spaces and give applications to semi-linear PDEs. These results are new on Riemannian manifolds (with a non bounded geometry) and even in the Euclidean space for Sobolev spaces associated to second order uniformly elliptic operators in divergence form.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上での $W^{s,p} \cap L^\infty$ のソボレフ空間の代数的性質を、弱い幾何的仮定のもとで確立すること。
• 非対角項の減衰を有する作用素に関連する一般化されたソボレフ空間に対して、新規な解析的道具—パラプロダクトと関数計算—を構築すること。
• この一般化されたソボレフ空間への合成則および非線形写像の性質を、特に非コンパクトおよびサブリーマン多様体の設定において拡張すること。
• 局所リプシッツ連続性に基づく非線形項の制御を用いて、ドゥハメルの原理を応用し、半線形偏微分方程式（シュレーディンガー方程式および熱方程式）の局所的適切な定義を示すこと。

提案手法

• 非対角項の減衰を有する作用素に適した新しいパラプロダクトのクラスを導入し、ソボレフ空間内での点乗積の分解を可能にする。
• 関数計算を用いて、平方関数 $S^\rho_\alpha f$ を通じてソボレフノルムを特徴づけ、それらをスペクトル乗数 $L^\beta f$ と関連付ける。
• 点対点の核推定を置き換えるために、$p$ が 2 に近い範囲でリーマン変換が $L^p$ に有界であることを鍵となる仮定とする。
• 半群 $e^{-tL}$ の非対角項の減衰推定を用いて、勾配の有界性を仮定せず、非線形項の正則性を制御する。
• ドゥハメルの反復法を用いて、局所リプシッツ連続性に依存する $C^0_I(W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty)$ 内の半線形偏微分方程式の解を構成する。
• 非線形項 $F$ が、入力の $L^\infty$ ノルムに依存する有界性を満たす滑らかで局所リプシッツな関数 $F$ に対して、$W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty$ に値をとることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱核の点対点ガウス型推定を仮定しないリーマン多様体上でも、$W^{s,p} \cap L^\infty$ の代数的性質を拡張できるか？
• RQ2 非対角項の減衰を有する作用素に関連する一般化されたソボレフ空間に対して、パラプロダクト技法を適応可能か？
• RQ3 作用素 $L$ および多様体の何らかの条件下で、滑らかで局所リプシッツな $F$ および $f \in W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty$ に対して、$F(f) \in W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty$ が成り立つか？
• RQ4 どのような幾何的仮定のもとで、$W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty$ 内で半線形シュレーディンガー方程式および熱方程式の適切な定義が可能になるか？

主な発見

• 非対角項の減衰および $L^p$-有界なリーマン変換の仮定のもとで、$\alpha > 0$, $p \in (s_-, s_+)$ の条件下で、空間 $W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty$ は点乗算に関して代数的性質を有する。
• パラプロダクトのアプローチにより、$fg$ の分解が可能となり、その各成分の $W^{\alpha,p}_L$ ノルムが $\|f\|_{W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty}$ および $\|g\|_{W^{\alpha,p}_L \cap L^\infty}$ によって制御可能である。
• 関数計算のアプローチにより、$\|L^\beta f\|_{L^p}$ が平方関数 $\|S^\rho_\alpha f\|_{L^p}$ を通じて特徴づけられ、一般化されたソボレフ設定における新たなノルム同値性が得られる。
• $\alpha \in (0,1)$ のとき、非線形項 $F$ は $W^{\alpha,2}_L \cap L^\infty$ 上で局所リプシッツ連続であり、$\|F(u) - F(v)\|_{W^{\alpha,2}_L} \lesssim_R \|u - v\|_{W^{\alpha,2}_L \cap L^\infty}$ を満たす。
• シュレーディンガー方程式 $iu_t + Lu = F(u)$ は、$I$ を小さな時間区間として、$C^0_I(W^{\alpha,2}_L \cap L^\infty)$ 内で適切に定義され、$\alpha > 0$ かつ $\alpha > d/2$ の条件下で成立する。
• サブリーマン構造では、制限 $\alpha \in (0,1)$ を取り除くことができ、$\alpha > 0$ でも同じ適切な定義結果が得られる。