[論文レビュー] Algebrable sets of hypercyclic vectors for convolution operators

Juan Bès, Dimitris Papathanasiou|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、整関数の空間上の特定の畳み込み作用素—例えば、MacLane作用素やBirkhoffの作用素—が、非可換な無限生成の超巡回ベクトル代数を支持することを確立している。代数的生成の技法と関数記号Φに関する幾何的条件を用いて、自由に生成される稠密な超巡回代数をもつ、整関数の残渣的集合の存在を証明し、長年の懸案事項である非有限生成超巡回代数の存在を肯定的に解決している。

ABSTRACT

We show that several convolution operators on the space of entire functions, such as the MacLane operator, support a dense hypercyclic algebra that is not finitely generated. Birkhoff's operator also has this property on the space of complex-valued smooth functions on the real line.

研究の動機と目的

• アロン（2006）の質問1、すなわち、H(ℂ)上の微分作用素Dに対する超巡回ベクトルの集合が代数的生成可能かどうかを解消すること。
• 畳み込み作用素の文脈において、超巡回代数の理論を有限生成構造を超えて拡張すること。
• 畳み込み作用素Φ(D)に対する超巡回ベクトルの集合が、稠密で無限生成の代数を支持するための条件を確立すること。
• このような代数がH(ℂ)^NおよびH(ℂ)^ℕにおいて残渣的であることを示し、構成の一般性を裏付けること。

提案手法

• 代数的生成と稠密な代数的生成の概念を用いて、Φ(D)の超巡回ベクトルの集合が、有限生成でない部分代数を含むことを示す。
• レベル集合{z: |Φ(z)| = 1}における幾何的条件を適用し、厳密に凸なコンパクトな弧Γを要求し、conv(Γ ∪ {0}) ∦ Γ ⊂ Φ⁻¹(𝔻)を満たすものとする。
• Fréchet空間における一般化されたバナッハ・カテゴリー定理を用いて、自由に生成する超巡回代数をなすN重組および数列の集合の残渣的性を証明する。
• 畳み込み作用素の弱混合性を利用し、多項式から関数への写像P ↦ P(f)を構成して、像の稠密性と範囲を分析する。
• 整関数の係数と成長率に関する漸近的推定を用いて、主要な不等式における収束性および非消滅性を検証する。
• 補題4.1を適用して、多項式写像の稠密な像と超巡回代数の存在の同値性を示し、次元を越えて残渣的性を移転可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素微分作用素DのH(ℂ)上における超巡回ベクトルの集合は、稠密で非有限生成の代数を支持できるか？
• RQ2 整関数Φに対して、畳み込み作用素Φ(D)が、非有限生成の稠密な超巡回代数を許容する条件は何か？
• RQ3 各N ≥ 2に対して、H(ℂ)^N内のN重組(f₁,…,f_N)で、Φ(D)に対して自由に生成される超巡回代数をなす集合は、H(ℂ)^Nにおいて残渣的か？
• RQ4 H(ℂ)^ℕ内の数列(f_j)で、Φ(D)に対して自由に生成される稠密な超巡回代数をなす集合は、H(ℂ)^ℕにおいても残渣的か？
• RQ5 定理1.1における|Φ(0)| < 1の仮定を、非可換な非有限生成超巡回代数の存在が保たれるように弱めることができるか？

主な発見

• 畳み込み作用素Φ(D)に対する超巡回ベクトルの集合は、幾何的条件「|Φ(z)| = 1 上の厳密に凸な弧Γが、conv(Γ ∪ {0}) ∦ Γ ⊂ Φ⁻¹(𝔻) を満たす」のもとで、稠密に強く代数的生成可能である。
• 各N ≥ 2に対して、H(ℂ)^N内のN重組(f₁,…,f_N)で、Φ(D)に対して自由に生成される超巡回代数をなす集合は、H(ℂ)^Nにおいて残渣的である。
• H(ℂ)^ℕ内の数列(f_j)で、Φ(D)に対して自由に生成される稠密な超巡回代数をなす集合は、H(ℂ)^ℕにおいて残渣的である。
• 微分作用素Dに対する超巡回ベクトルの集合は、H(ℂ)上で稠密に強く代数的生成可能であり、質問1に肯定的に答えている。
• 各Φ_nが幾何的条件を満たし、Φ_n(0) ∈ 𝔻 である限り、可算族{Φ_n(D)}_n∈ℕ の共通超巡回ベクトルに対しても結果が拡張可能である。
• |Φ(0)| < 1 の仮定は、Γ₁ 上の2点z₁, z₂ とε > 0 が存在し、conv{0, -εz₁, -εz₂} ⊂ Φ⁻¹(𝔻) を満たす限り弱められ、cos(z)などの関数への応用が可能になる。