[論文レビュー] Algebraic & definable closure in free groups

Abderezak Ould Houcine, Daniele Vallino|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自由群およびねじれなし双曲的群における代数的閉包と定義可能閉包を調査し、自由群のランク ≥4 の場合、定義可能閉包が代数的閉包の真部分群であることを証明している—これはセラの問いに答えている。また、非アーベル部分群の代数的閉包が有限生成で、準凸的かつ双曲的であり、部分群に関する一般化された非正規的巡回JSJ分解における頂点群と一致することを示している。

ABSTRACT

We study algebraic closure and its relation with definable closure in free groups and more generally in torsion-free hyperbolic groups. Given a torsion-free hyperbolic group G and a nonabelian subgroup A of G, we describe G as a constructible group from the algebraic closure of A along cyclic subgroups. In particular, it follows that the algebraic closure of A is finitely generated, quasiconvex and hyperbolic. Suppose that G is free. Then the definable closure of A is a free factor of the algebraic closure of A and the rank of these groups is bounded by that of G. We prove that the algebraic closure of A coincides with the vertex group containing A in the generalized cyclic JSJ-decomposition of G relative to A. If the rank of G is bigger than 4, then G has a subgroup A such that the definable closure of A is a proper subgroup of the algebraic closure of A. This answers a question of Sela.

研究の動機と目的

• セラが提起した、自由群において定義可能閉包が代数的閉包と一致するかどうかという問いを解決すること。
• 自由群およびより一般にねじれなし双曲的群における代数的閉包および定義可能閉包の構造を特徴づけること。
• ねじれなし双曲的群における非アーベル部分群の代数的閉包が有限生成で、準凸的かつ双曲的であることを確立すること。
• 自由群において、定義可能閉包が代数的閉包の自由因子であり、両者のランクが周囲の群のランクによって上界を持つことを示すこと。
• 自由群における部分群 A の代数的閉包が、A に関する一般化された非正規的巡回JSJ分解における頂点群と一致することを証明すること。

提案手法

• 群の1階論理における代数的閉包および定義可能閉包のモデル理論的概念を用いる。
• 特に部分群に関する一般化された非正規的巡回JSJ分解を用いた、ねじれなし双曲的群のJSJ分解理論を適用する。
• 代数的閉包から周囲の群を構成するために、巡回部分群を基準とするHNN拡大および剰余自由積を用いる。
• ねじれなし双曲的群における安定性および想像的対象の消去に関するセラの結果を適用する。
• 語方程式を解析し、矛盾を導くために、巡回的に短縮された語、共役、アーベル化に関する群論的議論を用いる。
• HNN拡大に関するキーレムマ（補題5.4）を適用し、特定の要素を共役化する自己同型を分類することで、自由群を部分群で割ったもの上の自己同型の可能性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ランクの自由群において、部分群の定義可能閉包がその代数的閉包と一致するか。
• RQ2 ねじれなし双曲的群における非アーベル部分群の代数的閉包と周囲の群との間の構造的関係は何か。
• RQ3 自由群における部分群に関するJSJ分解と代数的閉包の関係は何か。
• RQ4 ランクの高い自由群において、定義可能閉包が代数的閉包の真部分群になり得るか。
• RQ5 自由群を部分群で割った自己同型が、生成元を恒等的に写すか、あるいは反転させる条件は何か。

主な発見

• 自由群のランク ≥4 の場合、部分群の定義可能閉包はその代数的閉包の真部分群であり、セラの問いに対して否定的解答を与える。
• ねじれなし双曲的群において、非アーベル部分群の代数的閉包は有限生成で、準凸的かつ双曲的である。
• 周囲の自由群は、巡回部分群を基準とする有限回の剰余自由積およびHNN拡大の列によって、代数的閉包から構成可能である。
• 自由群における部分群 A の代数的閉包は、A に関する一般化された非正規的巡回JSJ分解における頂点群と一致する。
• ランク2の自由群では、任意の部分群の定義可能閉包と代数的閉包が一致する。
• ランク ≥4 の自由群の場合、定義可能閉包が代数的閉包の真部分群であるような部分群 A が存在する。