[論文レビュー] Algebraic and topological properties of some sets in $l_1$

Тарас Банах, Artur Bartoszewicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ one_1$ 空間内の部分和集合の代数的および位相的性質を調査し、3 種類の集合に注目する：有限個の区間の和集合 ($ mathcal{I}$)、カントール集合 ($ mathcal{C}$)、M-カントールバルブ ($ mathcal{MC}$)。本稿では、$ mathcal{I}$ と $ mathcal{C}$ が強く $ mathfrak{c}$-代数的であることを証明し、$ mathcal{MC}$ は $ mathfrak{c}$-線形的であることを示し、$ mathcal{C}$ は稠密な $G_\delta$-集合であり、$ mathcal{I}$ は $ mathcal{F}_\sigma$-集合であると同時に、$ mathcal{I}$ は空間的であるが、$ mathcal{C}$ はそうではないことを示している。

ABSTRACT

For a sequence $x \in l_1 \setminus c_{00}$, one can consider the set $E(x)$ of all subsums of series $\sum_{n=1}^{\infty} x(n)$. Guthrie and Nymann proved that $E(x)$ is one of the following types of sets: (I) a finite union of closed intervals; (C) homeomorphic to the Cantor set; (MC) homeomorphic to the set $T$ of subsums of $\sum_{n=1}^\infty b(n)$ where $b(2n-1) = 3/4^n$ and $b(2n) = 2/4^n$. By $I$, $C$ and $MC$ we denote the sets of all sequences $x \in l_1 \setminus c_{00}$, such that $E(x)$ has the corresponding property. In this note we show that $I$ and $C$ are strongly $\mathfrak{c}$-algebrable and $MC$ is $\mathfrak{c}$-lineable. We show that $C$ is a dense $G_δ$-set in $l_1$ and $I$ is a true $F_σ$-set. Finally we show that $I$ is spaceable while $C$ is not spaceable.

研究の動機と目的

• $ mathell_1$-列の部分和集合の代数的および位相的構造を特徴づけること。
• $ mathcal{I}$, $ mathcal{C}$, $ mathcal{MC}$ の3種類の達成集合の線形性、代数的性、空間的性の性質を特定すること。
• これらの集合が $ mathell_1$ 内でどの位相的カテゴリー（例：$G_\delta$、$ mathcal{F}_\sigma$）に属するかを調査すること。
• 代数的性の強さ、線形性、空間的性の関係が $ mathell_1$ の文脈でどのように成り立つかを明確にすること。
• $ mathfrak{c}$-代数的性、$ mathcal{F}_\sigma$-構造、空間的性に関する $ mathcal{MC}$ の未解決問題を解消すること。

提案手法

• Guthrie-Nymann の三分割法を用いて、$x \in \ell_1 \setminus c_{00}$ の $E(x)$ を3つのタイプに分類する：有限個の区間の和集合、カントール集合、または M-カントールバルブ。
• 関数解析学および無限級数の技法を応用し、望ましい部分和集合を持つ列を構成する。
• 代数の自由生成元の概念を用いて、多項式の組み合わせに関して閉じた非可算集合を構成することで、$ mathcal{I}$ と $ mathcal{C}$ の強力な $ mathfrak{c}$-代数的性を証明する。
• 無限次元部分空間 $Y$ 内の列 $x_k$ の再帰的構成を用い、ある $y \in Y$ に対して $E(y)$ が区間を含むことを示し、$ mathcal{C}$ が空間的でないことを証明する。
• 位相的議論を用いて、$ mathcal{C}$ が稠密な $G_\delta$-集合であり、$ mathcal{I}$ が真の $ mathcal{F}_\sigma$-集合であることを示す。
• バナッハ空間における空間的性や線形性の既知の結果を活用し、$ mathcal{I}$, $ mathcal{C}$, $ mathcal{MC}$ の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分和集合が $T$（M-カントールバルブ）に位相的に同相であるような列の集合 $ mathcal{MC}$ は $ mathfrak{c}$-代数的であるか？
• RQ2 $ mathcal{MC}$ は $ mathell_1$ の $ mathcal{F}_\sigma$ 部分集合であるか？
• RQ3 $ mathcal{MC}$ は空間的であるか？
• RQ4 $ mathell_1$ 内の稠密な $G_\delta$-集合が空間的でないことはあり得るか？ もしそうなら、$ mathcal{C}$ はそのような例となるか？
• RQ5 達成集合の文脈において、強力な代数的性、線形性、空間的性の正確な関係は何か？

主な発見

• 部分和集合が閉区間の有限個の和集合に位相的に同相である列の集合 $ mathcal{I}$ は、$ mathell_1$ 内で空間的である。
• 部分和集合がカントール集合に位相的に同型である列の集合 $ mathcal{C}$ は、$ mathell_1$ 内で稠密な $G_\delta$-集合である。
• $ mathcal{I}$ は真の $ mathcal{F}_\sigma$-集合である。つまり、$G_\delta$-集合ではない。
• $ mathcal{C}$ は強力に $ mathfrak{c}$-代数的である。これは、$ mathfrak{c}$ 個の元によって自由に生成される次元 $ mathfrak{c}$ の代数を含むことを意味する。
• $ mathcal{I}$ は強力に $ mathfrak{c}$-代数的である。これは、集合内に豊富な代数的構造が存在することを示している。
• $ mathcal{MC}$ は $ mathfrak{c}$-線形的である。これは、次元 $ mathfrak{c}$ の無限次元線形空間を含むが、$ mathfrak{c}$-代数的であるか、空間的であるかは未だ不明である。