[論文レビュー] Algebraic Bayesian analysis of contingency tables with possibly zero-probability cells

Guido Consonni, Giovanni Pistone|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、構造的ゼロ確率セルおよびおそらくゼロ度数セルを含む連関表分析のための代数的ベイズ枠組みを提案する。この枠組みでは、混合モデル内の別個のモデルインスタンスとしてゼロ確率セルを明示的にモデル化する。計算代数幾何学を用いて、すべての可能なサポートを列挙し、各モデルインスタンスに事前分布を割り当て、ディリクレ分布を用いて整合性のある事前分布を導出する。その結果、ゼロ確率セルが存在する場合、標準的な対数線形モデルとは著しく異なるベイズ因子が得られる。

ABSTRACT

In this paper we consider a Bayesian analysis of contingency tables allowing for the possibility that cells may have probability zero. In this sense we depart from standard log-linear modeling that implicitly assumes a positivity constraint. Our approach leads us to consider mixture models for contingency tables, where the components of the mixture, which we call model-instances, have distinct support. We rely on ideas from polynomial algebra in order to identify the various model instances. We also provide a method to assign prior probabilities to each instance of the model, as well as describing methods for constructing priors on the parameter space of each instance. We illustrate our methodology through a $5 imes 2$ table involving two structural zeros, as well as a zero count. The results we obtain show that our analysis may lead to conclusions that are substantively different from those that would obtain in a standard framework, wherein the possibility of zero-probability cells is not explicitly accounted for.

研究の動機と目的

• 標準的な対数線形モデルがセル確率の厳密な正の性質を仮定するという制限を是正すること。これは、実質的なモデリングの洞察を曇らせる可能性がある。
• 連関表における構造的ゼロとおそらくゼロ確率セルを明示的に扱うベイズ枠組みの開発。
• サポートの異なる組み合わせに対応する、代数統計を用いてすべての可能なモデルインスタンスを列挙・特徴づけること。これにより、より包括的なモデル空間を実現する。
• 各モデルインスタンスに事前確率を割り当てる原則的で整合性のある方法を提供し、パrameter空間における整合性のある事前分布を導出すること。
• ゼロ確率セルが明示的にモデル化されていない場合、特にスパースまたは構造的制約のある表において、標準的なベイズ解析が誤った結論を導く可能性があることを示すこと。

提案手法

• 多項式代数と計算代数幾何学を用いて、異なるゼロ確率セルの組み合わせに対応する、サポートが制限された対数線形モデル（モデルインスタンス）を同定する。
• セル度数の標本分布を混合モデルとして定式化し、各成分が特定のサポートを持つ別個のモデルインスタンスに対応する。
• 全単体上にディリクレ事前分布を設定し、補題1を用いてマージナル化と条件付き確率の法則を適用することで、各モデルインスタンスのパrameter空間における整合性のある事前分布を導出する。
• 構造的および実質的考察に基づき、各モデルインスタンスに事前確率を割り当て、ベイズ因子によるモデル比較を可能にする。
• CoCoAなどの記号計算ツールを用いてサポートの列挙と周辺尤度の計算を実装する。
• 混合枠組み下で、異なるモデル（例：準独立モデル対構造的ゼロモデル）の周辺尤度を計算し、ベイズ因子を構築することでモデル比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一部のセルがゼロ確率に制約される場合、どのようにして対数線形モデルのすべての可能なモデルインスタンス（異なるサポートを持つもの）を体系的に列挙できるか？
• RQ2 ゼロ確率セルを考慮するベイズ枠組みにおいて、異なるモデルインスタンスに事前確率を割り当てる原則的な方法は何か？
• RQ3 ゼロ確率セルが明示的にモデル化されている場合とされていない場合とで、得られるベイズ因子はどのように異なるか？
• RQ4 構造的ゼロとゼロ度数セルを含めると、連関表における準独立性に関する推論にどのような影響が生じるか？
• RQ5 代数統計と計算ツールをベイズ手法と効果的に組み合わせることで、スパースまたは高次元の連関表におけるモデル選択を改善できるか？

主な発見

• 提案手法は代数幾何学を用いて、異なるサポートを持つ複数のモデルインスタンスを同定し、標準的な対数線形モデルよりも包括的なモデル空間の表現を可能にする。
• 2つの構造的ゼロと1つのゼロ度数を含む $5 \times 2$ 連関表において、混合モデル下でのベイズ因子は 0.55 であった。これは、準独立性モデルに対する弱い証拠を示している。
• これに対して、ゼロ確率セルを無視した標準的なベイズ解析では、ベイズ因子は 0.17 であった。これは、ジェフリー尺度において、準独立性モデルに対するより強い証拠を示している。
• 対数尤度ベイズ因子（$\log_{10}(1/0.55) \approx 0.26$）は、準独立性モデルに対する「悪い」証拠を示しており、標準解析に比べて1桁程度弱い。
• 結果として、ゼロ確率セルが明示的にモデル化されていない場合、標準モデルは仮説に対する証拠を過大評価する可能性があり、その結果として実質的な結論が大きく異なることがある。
• 特にディリクレ事前分布の条件付き確率とマージナル化を用いることで、モデル空間の幾何学的・組合せ的構造を尊重する一貫性のある事前分布指定とモデル比較のフレームワークを提供する。