[論文レビュー] Algebraic Bethe ansatz for $\mathfrak{o}_{2n+1}$-invariant integrable models

A. Liashyk, S. Pakuliak|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、二重ヤンギアン $DY(\mathfrak{o}_{2n+1})$ のドリンフェルトカレントを用いて、$\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変な量子可積分模型に対する代数的ベーテアンザッツを構築する。オフシェル・ベーテベクトルはカレントの射影を用いて構成され、モノドロミー行列成分の作用の明示的公式が導かれる。これによりスカラー積の解析が可能となる。主な結果は、シフトされたベーテパラメータと構造関数を用いて、$T^{+}_{-n,n}(z)$ がオフシェル・ベーテベクトル上に作用する閉形式の表現が得られることである。

ABSTRACT

A class of $\mathfrak{o}_{2n+1}$-invariant quantum integrable models is investigated in the framework of algebraic Bethe ansatz method. A construction of the $\mathfrak{o}_{2n+1}$-invariant Bethe vector is proposed in terms of the Drinfeld currents for the double of Yangian $\mathcal{D}Y(\mathfrak{o}_{2n + 1})$. Action of the monodromy matrix entries onto off-shell Bethe vectors for these models is calculated. Recursion relations for these vectors were obtained. The action formulas can be used to investigate structure of the scalar products of Bethe vectors in $\mathfrak{o}_{2n+1}$-invariant models.

研究の動機と目的

• $\mathfrak{sl}_3$ の場合を越えて、$\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変な可積分模型への代数的ベーテアンザッツの拡張を図ること。
• 二重ヤンギアン $DY(\mathfrak{o}_{2n+1})$ のドリンフェルトカレントを用いて、オフシェル・ベーテベクトルを構成すること。
• これらのオフシェル・ベーテベクトル上におけるモノドロミー行列成分の作用公式を明示的に導出すること。
• $\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変模型におけるベーテベクトルのスカラー積を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• 二重ヤンギアン $DY(\mathfrak{o}_{2n+1})$ のドリンフェルトカレント実現を用いて、代数生成子の生成関数を定義する。
• ガウス座標を用いたカレント積の順序付き射影によって、オフシェル・ベーテベクトルを構成する。
• ガウス分解を用いたモノドロミー行列の作用を計算するための射影法を適用する。
• 特に $T^{+}_{-n,n}(z)$ の作用公式を導出するために、カレント積の再順序化を、交換関係を用いて行う。
• 非自明なカレント交換関係に対応するため、シフトされたスペクトルパラメータ $\tilde{z}_i = z_i - c(i - 1/2)$ を導入する。
• モノドロミー行列のユニタリティおよびヤン・バクスター関係を用いて、導出された公式の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルトカレント実現 $DY(\mathfrak{o}_{2n+1})$ を用いて、$\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変可積分模型のオフシェル・ベーテベクトルを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 特に $T^{+}_{-n,n}(z)$ のようなモノドロミー行列成分が、これらのオフシェル・ベーテベクトル上に作用する明示的公式は何か？
• RQ3 $\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変模型における作用公式は、$\mathfrak{o}_3$ のような簡単な場合に既知の結果にどのように還元されるか？
• RQ4 導出された作用公式を用いて、$\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変模型におけるベーテベクトルのスカラー積を研究できるか？

主な発見

• オフシェル・ベーテベクトル $B(\bar{t})$ 上での $T^{+}_{-n,n}(z)$ の作用は、$T^{+}_{-n,n}(z) \cdot B(\bar{t}) = -\kappa \, g(z_1, \bar{t}_0) \, h(z, \bar{t}_{n-1}) / (h(z, \bar{t}_0) \, g(z_n, \bar{t}_{n-1})) \cdot \lambda_n(z) \cdot B(\bar{w})$ で与えられる。ここで $\bar{w} = \{\bar{t}_0, z, \tilde{z}_0, \dots, \bar{t}_{n-1}, \tilde{z}_{n-1}\}$ である。
• $n=1$ のとき、この公式は既知の $\mathfrak{o}_3$ の場合に正しく還元され、先行研究と整合することが確認された。
• 導出は、$0 \leq i \leq n-2$ に対して成り立つ非自明な交換関係 $(t - t' - c) F_i(t) F_{i+1}(t') = (t - t') F_{i+1}(t') F_i(t)$ を用いたカレント積の再順序化に依存している。
• 構造関数の相殺により、$z_\ell = z_{\ell'} = z$ と置いた場合でも、見かけの極が存在するにもかかわらず作用は正則である。
• 結果は、R行列の構造とスピンパラメータ依存性を符号化する有理関数 $f(u,v)$, $g(u,v)$, および $h(u,v)$ を用いて表現される。
• 本手法により、ベーテベクトル上の降下作用素の作用を提供することで、$\mathfrak{o}_{2n+1}$-不変模型におけるスカラー積の計算のためのフレームワークが確立された。