[論文レビュー] Algebraic bivariant $K$-theory and Leavitt path algebras

Guillermo Cortiñas⋆, Diego Montero|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、代数的双変化K理論kkが、cokernel Coker(I − AE) と Coker(I − AtE) を通じて、可換環 ℓ 上のLeavittパス代数 L(E) を kk 同型の意味で分類することを確立している。これはC*-代数におけるユニバーサル係数定理およびK"unneth定理の一般化である。kk(L(E)) が KH₀(L(E)) と KH₁(L(E)) のみに依存することを証明し、K理論およびExt群を用いたkk(L(E), R) に対するUCT型完全列を提供する。

ABSTRACT

This article is the first of two where we investigate to what extent homotopy invariant, excisive and matrix stable homology theories help one distinguish between the Leavitt path algebras $L(E)$ and $L(F)$ of graphs $E$ and $F$ over a commutative ground ring $\ell$. In this first article we consider Leavitt path algebras of general graphs over general ground rings; the second article will focus mostly on purely infinite simple unital Leavitt path algebras over a field. Bivariant algebraic $K$-theory $kk$ is the universal homology theory with the properties above; we prove a structure theorem for unital Leavitt path algebras in $kk$. We show that under very mild assumptions on $\ell$, for a graph $E$ with finitely many vertices and reduced incidence matrix $A_E$, the structure of $L(E)$ depends only on the isomorphism classes of the cokernels of the matrix $I-A_E$ and of its transpose, which are respectively the $kk$ groups $KH^1(L(E))=kk_{-1}(L(E),\ell)$ and $KH_0(L(E))=kk_0(\ell,L(E))$. Hence if $L(E)$ and $L(F)$ are unital Leavitt path algebras such that $KH_0(L(E))\cong KH_0(L(F))$ and $KH^1(L(E))\cong KH^1(L(F))$ then no homology theory with the above properties can distinguish them. We also prove that for Leavitt path algebras, $kk$ has several properties similar to those that Kasparov's bivariant $K$-theory has for $C^*$-graph algebras, including analogues of the Universal coefficient and K\"unneth theorems of Rosenberg and Schochet.

研究の動機と目的

• 可換環 ℓ 上のLeavittパス代数 L(E) と L(F) を、ホモトピー不変、加法的、行列安定なホモロジー理論がどの程度区別できるかを特定すること。
• 普遍的な理論としての双変化代数的K理論kkにおける L(E) の構造を特徴づけること。
• Leavittパス代数の文脈において、ユニバーサル係数定理（UCT）およびK"unneth定理の類似を確立すること。
• KH₁(L(E)) が 0 → M∞ → E → L(E) → 0 の形の拡張とどのように関係するかを示し、Ext(L(E)) から KH₁(L(E)) への自然な上への写像を示すこと。

提案手法

• kk が代数の圏上で初期的（initial）な加法的、ホモトピー不変、E-安定ホモロジー理論であるという普遍性を用いる。
• 逆スuspension関手 Ω を用いて kk_n(A, B) = hom_kk(j(A), Ω^n j(B)) を定義し、kk_n(ℓ, B) = KH_n(B) を通じてWeibelのKH理論と関係づける。
• 削減済みインシデント行列のcokernelを用いて KH₀(L(E)) と KH₁(L(E)) を特徴づける：KH₀(L(E)) ≅ Coker(I − AtE)，KH₁(L(E)) ≅ Coker(I − AE)。
• j(L(E)) ≅ j(L₀^s ⊕ L₁^r ⊕ ⨁ L_{d_{i+1}}) である構造定理を証明する。ここで s = #sing(E)，r = rk(KH₁(L(E)))，d_i は K₀(L(E)) のねじれ部分群の不変因子である。
• UCT型完全列を確立する：0 → Ext¹_Z(KH₀(L(E)), KH_{n+1}(R)) → kk_n(L(E), R) → Hom(KH₀(L(E)), KH_n(R)) ⊕ Hom(Ker(I−AtE), KH_{n+1}(R)) → 0。
• K"unneth型完全列を証明する：0 → KH₁(L(E)) ⊗ KH_{n+1}(R) ⊕ Ker(I−AE) ⊗ KH_n(R) → kk_n(L(E), R) → Tor¹_Z(KH₁(L(E)), KH_n(R)) → 0。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的、ホモトピー不変、行列安定なホモロジー理論は、可換環 ℓ 上のLeavittパス代数 L(E) と L(F) をどの程度区別できるか？
• RQ2 L(E) の kk 理論的クラスは、cokernel Coker(I − AE) と Coker(I − AtE) のみによって決定可能か？
• RQ3 双変化代数的K理論kkは、C*-代数のKasparovのKK理論におけるユニバーサル係数定理に類似した定理を満たすか？
• RQ4 kk(L(E), R) に対して、K理論群のテンソル積およびTor群を用いたK"unneth型定理は存在するか？
• RQ5 KH₁(L(E)) は、0 → M∞ → E → L(E) → 0 の形の拡張のホモトピー類のなす群 Ext(L(E)) とどのように関係するか？

主な発見

• L(E) の kk-類は、Coker(I − AE) と Coker(I − AtE) のみに依存し、KH₀(L(E)) ≅ Coker(I − AtE)，KH₁(L(E)) ≅ Coker(I − AE) が成り立つ。
• 頂点集合が有限なグラフ E に対して、j(L(E)) ≅ j(L₀^s ⊕ L₁^r ⊕ ⨁_{i=1}^n L_{d_{i+1}}) が成り立つ。ここで s = #sing(E)，r = rk(KH₁(L(E)))，d_i は K₀(L(E)) のねじれ部分群の不変因子である。
• UCT型完全列 0 → Ext¹_Z(KH₀(L(E)), KH_{n+1}(R)) → kk_n(L(E), R) → Hom(KH₀(L(E)), KH_n(R)) ⊕ Hom(Ker(I−AtE), KH_{n+1}(R)) → 0 が成り立ち、これは作用素代数的UCTを一般化する。
• K"unneth型完全列 0 → KH₁(L(E)) ⊗ KH_{n+1}(R) ⊕ Ker(I−AE) ⊗ KH_n(R) → kk_n(L(E), R) → Tor¹_Z(KH₁(L(E)), KH_n(R)) → 0 が確立され、標準的射影のセクションを用いた分解の証明が与えられる。
• Ext(L(E)) から KH₁(L(E)) への自然な上への写像が存在し、ホモトピー類の群と KH₁ を結びつける。
• 恒等式 #sing(E) = rk(KH₀(L(E))) − rk(KH₁(L(E))) が成り立ち、これにより特異頂点の数がK理論的データから回復可能である。