[論文レビュー] Algebraic Branching Programs, Border Complexity, and Tangent Spaces

Bläser, Markus, Ikenmeyer, Christian+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多項式 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する代数的ブランチングプログラム（ABP）に対して、古典的な Ω(n log n) の下界を改善し、Ω(n²) の下界を確立する。証明では、小さな ABP を、∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) を計算する同次的なものに変換する深さ削減技術を導入し、それにより従来の下界のロバスト性を活用して議論を完成させる。同様の手法により、n 個の変数における次数 0.1n の基本対称多項式を計算する代数的式に対しても、Ω(n²) の下界が得られ、以前の Ω(n²/log n) の限界を上回る。

ABSTRACT

Nisan showed in 1991 that the width of a smallest noncommutative single-(source,sink) algebraic branching program (ABP) to compute a noncommutative polynomial is given by the ranks of specific matrices. This means that the set of noncommutative polynomials with ABP width complexity at most k is Zariski-closed, an important property in geometric complexity theory. It follows that approximations cannot help to reduce the required ABP width. It was mentioned by Forbes that this result would probably break when going from single-(source,sink) ABPs to trace ABPs. We prove that this is correct. Moreover, we study the commutative monotone setting and prove a result similar to Nisan, but concerning the analytic closure. We observe the same behavior here: The set of polynomials with ABP width complexity at most k is closed for single-(source,sink) ABPs and not closed for trace ABPs. The proofs reveal an intriguing connection between tangent spaces and the vector space of flows on the ABP. We close with additional observations on VQP and the closure of VNP which allows us to establish a separation between the two classes.

研究の動機と目的

• ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する ABP に対して、超線形的で具体的には二次の下界を確立し、古典的な Ω(n log n) の下界を改善すること。
• 次数 0.1n の基本対称多項式を計算する代数的式に対し、二次の下界を拡張すること。
• 構造を保ちつつ、ABP の深さ削減手法を構築し、小さな構造的摂動を伴う多項式へ下界の転送を可能にする。
• 同次 ABP の既存の下界が、制御された摂動を受ける場合にも有効であることを示し、非同次だが構造的な多項式に対し新たな下界を導出可能にする。

提案手法

• 任意の小さな ABP が ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する場合、それを同次 ABP に深さ削減する手続きを導入し、そのサイズは類似しており、∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) を計算する。ここで ε(x) は構造的誤差多項式である。
• Kum19 が提示した同次 ABP に対する下界が、ε(x) が特定の構造的制約を満たす限り、∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) の形の多項式に対しても有効であるという事実を用いる。
• 多項式の形式的次数を幾何的に減少させる再帰的式削減技術を適用し、各段階で導入される誤差項の数を制御する。
• 鍵となる主張（命題 5.14）を用い、各削減段階で誤差項の数が O(n²/dk) 以内にしか増加しないことを示す。ここで dk は現在の形式的次数である。
• 定理 5.13 を用いて、ESYM(n, 0.1n) + ∑ Aj·Bj + R を計算する式のサイズに下界を確立する。ただし Aj と Bj の定数項に制約を課す。
• 形式的次数が ≤0.1n に削減された後も誤差項の数が O(n) で抑えられることを活用し、既知の下界の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する ABP に対する古典的 Ω(n log n) の下界は、Ω(n²) に改善可能か？
• RQ2 Kum19 が提示した同次 ABP の下界のロバスト性は、∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) のような小さな構造的摂動を伴う多項式に対しても拡張可能か？
• RQ3 同様の深さ削減と誤差ロバスト性の技術を用いて、代数的式のためのより強い下界を導出可能か？
• RQ4 基本対称多項式に対する Ben-Or の構成は、一般の代数的式において最適か、それともより強い下界を示せるか？
• RQ5 誤差の成長を制御する形式的次数削減の技術は、他の多項式族へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、多項式 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する ABP に対して Ω(n²) の下界を確立し、古典的な Ω(n log n) の下界を改善した。
• 下界は、任意の小さな ABP が ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ を計算する場合、それを ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) を計算する同次 ABP に深さ削減できることを示すことによって達成された。ここで ε(x) は構造的誤差多項式である。
• Kum19 が提示した同次 ABP の下界のロバスト性により、∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) に対しても同じ Ω(n²) の下界が適用可能であり、証明が完成した。
• n 個の変数における次数 0.1n の基本対称多項式を計算する代数的式に対し、Ω(n²) の下界が示され、以前の最良の下界 Ω(n²/log n) を上回った。
• この下界は Ben-Or の深さ 3 の式に対する O(n²) の上界と一致しており、彼の構成が一般の代数的式に対しても最適であることを示している。
• この手法により、式の削減過程で生じる誤差項の数が常に有界であり、下界を無効にしないことが示された。これにより、既知の下界を摂動を伴う多項式へと転送可能であることが実証された。