[論文レビュー] Algebraic Cobordism of Classifying Spaces

Dinesh Deshpande|ArXiv.org|Jul 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、線型代数的群の分類空間に対する代数的コボルディズムを定義し、複素数上の古典的リー群（GL(n), SL(n), Sp(n), O(n), SO(2n+1)）および有限群（アーベル群および位数8のクaternion群）に対して、代数的コボルディズム環 $ abla^*(BG)$ が複素コボルディズム環 $MU^*(BG)$ に同型であることを確立する。この構成は、表現の選択に依存しない定義を安定化するためのコニヴェツフィルトレーションに依存し、等変コボルディズムを用いて、モチーフ的およびチャウコホモロジーにおける既知の結果と比較することで同型性を検証する。

ABSTRACT

We define algebraic cobordism of classifying spaces, Ω^*(BG) and G-equivariant algebraic cobordism Ω^*_G(-) for a linear algebraic group G. We prove some properties of the coniveau filtration on algebraic cobordism, denoted F^j(Ω^*(-)), which are required for the definition to work. We show that G-equivariant cobordism satisfies the localization exact sequence. We calculate Ω^*(BG) for algebraic groups over the complex numbers corresponding to classical Lie groups GL(n), SL(n), Sp(n), O(n) and SO(2n+1). We also calculate Ω^*(BG) when G is a finite abelian group. A finite non-abelian group for which we calculate Ω^*(BG) is the quaternion group of order 8. In all the above cases, we check that Ω^*(BG) is isomorphic to MU^*(BG).

研究の動機と目的

• 線型代数的群 $G$ の分類空間に対する代数的コボルディズム $ abla^*(BG)$ を定義し、商構成における不安定性の問題を克服する。
• 古典的リー群および位数8のクaternion群を含む主要な群に対して、$ abla^*(BG) \cong MU^*(BG)$ が成り立つことを確立する。
• 代数的コボルディズムの枠組みを等変設定に拡張し、$G$-等変コボルディズムにおける局所化完全系列を証明する。
• チャウ環の写像が既知の同型である場合に、代数的コボルディズムから複素コボルディズムへの自然写像が同型であることを検証する。
• Yagitaの代数的ブラウン・ペトリソン理論に関する結果を一般化し、主な同型性を用いて $ abla^*_{BP}(BG) \cong BP^*(BG)$ を示す。

提案手法

• 表現および閉部分集合 $S$ の選択に依存しない安定化を図るため、代数的コボルディズムにおけるコニヴェツフィルトレーションを用いて $ abla^i((\mathbb{A}^N \setminus S)/G)$ の商を定義する。
• $G$-スキームに対して $G$-等変代数的コボルディズム $ abla^*_G(-)$ を構成し、それが局所化完全系列を満たすことを証明する。
• 既知の同型 $ abla^*(X) \otimes_{\nabla^*} \mathbb{Z} \cong CH^*(X)$ を用いて、代数的コボルディズムとチャウ環を関連付ける。
• $ abla^*(\text{pt}) \cong L$（ラザール環）および $MU^*(\text{pt}) \cong L$ であることに着目し、複素コボルディズムと比較する。
• 形式的群則の技法および $MU^*(BG)$ におけるチャーン類の計算を用いて、特に $BQ$ に対して $ abla^*(BG)$ における関係を導出する。
• すべての関係が $MU^*(BG)$ が定義するのと同じべき級数関係によって誘導されることを示すことにより、同型 $ abla^*(BG) \cong MU^*(BG)$ を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線型代数的群 $G$ に対して、分類空間 $ abla^*(BG)$ の代数的コボルディズムを一貫して定義できるか？
• RQ2 古典的リー群および有限群に対して、$ abla^*(BG)$ は複素コボルディズム $MU^*(BG)$ と一致するか？
• RQ3 コニヴェツフィルトレーションは、表現および不変閉部分集合の異なる選択肢に対して $ abla^*(BG)$ の定義をどのように安定化するか？
• RQ4 位数8のクaternion群の非アーベル有限群のような $\nabla^*(BG)$ の構造はいかなるものか？
• RQ5 同型 $ abla^*(BG) \cong MU^*(BG)$ は、Yagitaの代数的ブラウン・ペトリソンコホモロジーに関する結果をどの程度一般化するか？

主な発見

• 複素数上での $G = GL(n), SL(n), Sp(n), O(n), SO(2n+1)$ に対して、$ abla^*(BG) \cong MU^*(BG)$ が成り立ち、同型は複素コボルディズムと同一の形式的群則関係によって誘導される。
• 有限アーベル群 $G$ に対して $ abla^*(BG) \cong MU^*(BG)$ であり、その構造はチャウ環における同じ関係をコボルディズムに拡張することで決定される。
• 位数8のクaternion群 $Q$ に対して $ abla^*(BQ) \cong MU^*(BQ)$ であり、同型は $MU^*[[x,y,z]]$ 内の6つのべき級数関係によって確立される。
• $ abla^*(BQ)$ の6つの関係は、$MU^*(BG)$ 内のチャーン類の恒等式から導出され、$MU^*(BQ)$ の定義関係と一致することが確認された。
• チャウ環 $CH^*(BQ)$ の像から、$CH^*(BQ) \cong \mathbb{Z}[x,y,z]/(2x=2y=4z=0, xy=2z)$ が得られ、この構造は $ abla^*(BQ)$ に持ち上がることを示す。
• この結果は、$BP^*(BG)$ が $MU^*(BG)$ の商であることに着目し、Yagitaの同型 $ abla^*_{BP}(BG) \cong BP^*(BG)$ が同様の群に対して成り立つことを示唆する。