[論文レビュー] Algebraic coherent confluence and higher globular Kleene algebras

Cameron Calk, Éric Goubault+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元の書き換え系における一貫性のあるコンフラエンスを形式化するための、点を含まない代数的枠組みとして、高次グロブラー Kleene代数を導入する。Kleene代数的推論をn次元構造へ拡張することで、等式的計算を用いて一貫性のあるChurch-Rosser定理と一貫性のあるNewmanの補題を証明し、それらを多様図式書き換え系に適用することで、古典的結果が帰結として得られることを示す。

ABSTRACT

We extend the formalisation of confluence results in Kleene algebras to a formalisation of coherent confluence proofs. For this, we introduce the structure of higher globular Kleene algebra, a higher-dimensional generalisation of modal and concurrent Kleene algebra. We calculate a coherent Church-Rosser theorem and a coherent Newman's lemma in higher Kleene algebras by equational reasoning. We instantiate these results in the context of higher rewriting systems modelled by polygraphs.

研究の動機と目的

• 高次元書き換えに統合された Kleene代数的コンフラエンス証明を、高次元代数的構造を導入することで統一すること。
• 古典的コンフラエンス結果（例：Church-Rosser定理、Newmanの補題）を高次元に拡張した一貫性のあるコンフラエンスを形式化すること。
• モーダルおよび並列 Kleene代数を一般化する、代数的で点を含まない高次書き換えにおける一貫性のアプローチを提供すること。
• 高次グロブラー Kleene代数における等式的推論と、高次書き換えの多様図式モデルとの間の橋渡しをすること。
• 多様図式書き換えモデルにおいて、代数的導出により既知の古典的多様図式的結果（例：Church-Rosser定理、Newmanの補題）を帰結として得ること。

提案手法

• 複数の合成、ドメイン／コドメイン演算、厳密な交換法則を備えた高次グロブラー Kleene代数を導入し、高次元書き換えをモデル化する。
• Kleene代数における等式的推論を用いて、n次元系における一貫性のあるChurch-Rosser定理と一貫性のあるNewmanの補題を導出する。
• P と細胞的拡張 Γ に対して K(P, Γ) を定義し、書き換えステップとコンフラエンスフィラーを捉える Kleene代数を構成する。
• Γ′ = (Γc)∗n を文脈における Γ の閉包として導入し、次元を跨いでコンフラエンスとChurch-Rosser性の関係を関係付ける。
• n-スターオペレータと緩い準同型の性質を用いて、高次元におけるコンフラエンスとChurch-Rosserフィラーの包含関係を導出する。
• K(P, Γ) と多様図式書き換えの間の対応関係を用いて、代数的結果を多様図式モデルにインスタンス化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的コンフラエンス結果（例：Church-Rosser定理）は、どのように高次元書き換え系へ一般化できるか？
• RQ2 標準的 Kleene代数を越えて、高次元における一貫性のあるコンフラエンス証明を支える代数的構造は何か？
• RQ3 高次グロブラー Kleene代数における等式的推論は、多様図式書き換えにおける既知の結果（例：Church-Rosser定理、Newmanの補題）を回復できるか？
• RQ4 高次元書き換えにおける局所的コンフラエンス、コンフラエンス、およびChurch-Rosser性の間の正確な関係は何か？
• RQ5 K(P, Γ) における書き換えステップとコンフラエンスフィラーの構成は、高次書き換えの多様図式モデルとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、高次グロブラー Kleene代数における一貫性のあるChurch-Rosser定理を確立し、(x + y)* ≤ y* · x* が一貫性のあるコンフラエンス構造を示すことを示した。
• 一貫性のあるNewmanの補題が代数的に導出され、局所的コンフラエンスが等式的推論により高次元におけるコンフラエンスを示すことを証明した。
• K(P, Γ) の構成が Γ-整合性と整合することを示し、Γ が P に対してコンフラエンスフィラーであることは、その閉包 Γ′ が ((Pc_n)∨n−1, Pc_n) に対して (n−1)-コンフラエンスフィラーであることと同値であることを示した。
• 定理4.6では、n-多様図式 P と細胞的拡張 Γ に対して、Γ がChurch-Rosserフィラーであることとコンフラエンスフィラーであることの同値性を証明し、古典的Church-Rosser定理を多様図式形で回復した。
• 定理4.7では、終了性を持つ n-多様図式に対して、局所的コンフラエンスが同じ代数的枠組みを用いてコンフラエンスを示すことを証明し、多様図式的状況下でNewmanの補題を回復した。
• これらの結果は、K(P, Γ) における等式的導出によって得られ、n-スターや閉包作用素の性質が用いられ、多様図式のインスタンス化によって検証された。