[論文レビュー] Algebraic construction of contragradient quasi-Verma modules in positive characteristic

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|May 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、旗多様体上の局所コホロロジー群として実現することにより、正標数における対頂的擬ヴェルマ加群の代数的構成を与える。量子BGG複体とグローテンディーク＝クジン複体の間の同型を確立し、自然な加群写像を介して両者の微分が一致することを示す。これにより、以前の表現論的証明における欠落していたステップが補完される。

ABSTRACT

In the present paper we investigate a new class of infinite-dimensional modules over the hyperalgebra of a semi-simple algebraic group in positive chararacteristic called quasi-Verma modules. We provide a purely algebraic construction of the global Grothendieck-Cousin complex corresponding to the standard line bumdle ${\mathcal L}(λ)$ on the Flag variety of the algebraic group stratified by Schubert cells. We prove that the complex consists of direct sums of quasi-Verma modules for the highest weights of the form $w\cdotλ$ for various elements $w$ of the Weyl group.

研究の動機と目的

• Arkhipov (2001) の命題 3.7.1(ii) の証明における空白を埋める、特に量子複体と幾何的複体の比較に関するもの。
• 正標数における旗多様体上でのグローバルグローテンディーク＝クジン複体の代数的実現を提供すること。
• 対頂的擬ヴェルマ加群とシューベルト胞体上の最高次局所コホロロジー群との間の同型を確立すること。
• 正標数において、量子BGG複体と幾何的クジン複体の微分が自然に同型であることを証明すること。

提案手法

• ハイパ代数 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$ 上の左半正則加群 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}$ を、$G_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上の $H^{\operatorname{codim}N_w}_{N_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}}(G_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{O}_{G_{\overline{\mathbb{F}}_p}})$ として定義する。
• 対頂的擬ヴェルマ加群 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$ を、$\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes_{\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})} M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$ としてテンソル積として構成する。
• 核函手 $S_w$ とねじれ函手 $T_w$ を用いて、$\mathcal{O}$ の圏上の函手 $\Theta_w$ を定義し、これにより導来圏における自己同値が誘導されることを示す。
• 自然な $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-加群写像 $\alpha$ を、$\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$ から $\operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$ への写像として確立する。
• 自然な同型と $M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$ からホモロジー空間への自然な写像の存在を用いて、写像 $\alpha$ が同型であることを証明する。
• 量子複体と幾何的複体の部分加群のラティスを比較し、それらが Lemma 5.4.9 を介して一致することを示す。これにより、微分が一致することが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における対頂的擬ヴェルマ加群は、幾何的コホロロジーに依存せずに、どのように代数的に構成できるか？
• RQ2 最高次局所コホロロジー群 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$ の正確な代数的実現は何か？
• RQ3 量子BGG複体 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ とグローバルグローテンディーク＝クジン複体 $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ の間に自然な同型が存在するか？
• RQ4 提案された同型の下で、二つの複体の微分が一致するか？
• RQ5 量子複体の部分加群のラティスが幾何的ラティスと一致することを示し、微分の整合性を保証できるか？

主な発見

• 対頂的擬ヴェルマ加群 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$ は、最高次局所コホロロジー群 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$ に同型であり、幾何的コホロロジーの代数的実現が確立される。
• 自然な写像 $\alpha: \mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda) \to \operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$ は、$\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-加群としての同型である。
• すべての $w \in W$ に対して、$M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 内の部分加群のラティス $\operatorname{Im}(\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda))$ と $\operatorname{Im}(M^w_{\mathcal{A}}(w\cdot\lambda) \otimes_{\mathcal{A}} \overline{\mathbb{F}}_p)$ が一致する。これは Lemma 5.4.9 で述べられている。
• 複体 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ と $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ の微分は自然に同型であり、これにより Theorem 5.4.2 が証明される。
• 量子BGG複体 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ は、$\mathcal{L}(\lambda)$ を係数とする旗多様体上のグローバルグローテンディーク＝クジン複体と同型であり、比較が完全に完了する。