[論文レビュー] Algebraic construction of multi-species q-Boson system

Yoshihiro Takeyama|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$GL_k$ 型のアフィンヘッケ代数の変形の表現を用いて、$\mathbb{Z}$ 上の多種類 $q$-ボソン確率的粒子系を構築する。粒子の移動確率は、移動する粒子の色と、同じクラスタ内に存在するより高い色の粒子の数に依存し、その遷移率は $\frac{1-q^{m_b}}{1-q}q^{\sum_{j=b+1}^N m_j}$ で与えられる。ここで $m_b$ は、源のクラスタ内に存在する色 $b$ の粒子数を表す。

ABSTRACT

We construct a stochastic particle system which is a multi-species version of the q-Boson system due to Sasamoto and Wadati. Its transition rate matrix is obtained from a representation of a deformation of the affine Hecke algebra of type GL.

研究の動機と目的

• 単一種類の $q$-ボソン系を $N$ 種類の粒子色を持つ多種類のものに一般化すること。
• 局所的な粒子集団に依存する状態依存遷移率を持つ確率的粒子系を確立すること。
• 変形された $GL_k$ 型のアフィンヘッケ代数の表現から遷移率行列を導出すること。
• 得られた過程が明示的な遷移率を持つ連続時間マルコフ過程であることを特定すること。

提案手法

• パrameter $\alpha$ と $q$ を用いたアフィンヘッケ代数 $\mathcal{A}_k$ の変形を用い、$\alpha = -(1-q)$ に特殊化する。
• $U$ を $N$ 次元ベクトル空間として、$F(L, U^{igotimes k})$ 上に $\mathcal{A}_k$ の表現を定義する。
• $G$ を伝搬作用素とし、$t_i$ をシフト作用素とする関係 $HG = G\sum_{i=1}^k t_i$ を用いて離散ハミルトニアン $H$ を定義する。
• $H$ を $F_0(L, U^{igotimes k})$ に制限し、粒子配置 $\mathcal{S}$ の関数と同定する。
• 基底変換 $\varphi$ を適用して離散ハミルトニアンを連続時間マルコフ過程の生成子に変換する。
• 遷移率行列 $Q = \varphi^{-1}H^+\varphi - k$ を導出し、クラスタ構成に依存する明示的な遷移率を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $q$-ボソン系を $N$ 種類の粒子色を持つ多種類の設定に一般化できるか。
• RQ2 多種類 $q$-ボソンモデルにおける遷移率の背後にある代数的構造は何か。
• RQ3 クラスタ内に存在するより高い色の粒子の集団が、左に移動する低い色の粒子の遷移率にどのように影響するか。
• RQ4 多種類系の遷移率行列は、変形されたアフィンヘッケ代数の表現から導出可能か。
• RQ5 ベーテのアンザッツとプランシュレ理論は、この系の固有関数を解析する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 色 $b$ の粒子が左に移動する遷移率は $\frac{1-q^{m_b}}{1-q}q^{\sum_{j=b+1}^N m_j}$ であり、$m_b$ は源のクラスタ内に存在する色 $b$ の粒子数を表す。
• $N=1$ のとき、モデルは定数倍を除き元の $q$-ボソン系に還元される。
• 得られた過程は、$\mathbb{Z}$ 上の $k$ 個の多種類ボソン粒子の配置空間 $\mathcal{S}$ 上の連続時間マルコフ過程である。
• 遷移率行列は、変形されたアフィンヘッケ代数の表現から構築された離散ハミルトニアン $H$ から生じる。
• この構成は、離散的伝搬作用素 $G$ と関係 $HG = G\sum_{i=1}^k t_i$ を持つシフト作用素構造に依存する。
• モデルは、$\mathcal{A}_k$ の $F(L, U^{\otimes k})$ 上での表現から代数的に導出され、$U^{\otimes k}$ はジムボ表現によりヘッケ代数作用を備える。