[論文レビュー] Algebraic Cycles, Fundamental Group of a Punctured Curve, and Applications in Arithmetic

Payman Eskandari|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、穴あき曲線上の反復積分と高次の代数的サイクルの間の幾何学的・算術的関係を、重み2からより高い重み $n \geq 2$ へ一般化する。$X^{2n-1}$ 上に、基本群の単模根の混合ホッジ拡張を実現する、ホモロジーがゼロの代数的サイクルを構成し、それらが無限大の穴の位置 $ less$ を一意に決定することを証明する。算術的応用では、ジャコビアン上の $K$-有理点を代数的サイクルに関連づけ、ねじれ点は非自明な周期関係を誘導する。

ABSTRACT

The results of this paper can be divided into two parts, geometric and arithmetic. Let $X$ be a smooth projective curve over $\mathbb{C}$, and $e,\infty\in X(\mathbb{C})$ be distinct points. Let $L_n$ be the mixed Hodge structure of functions on $π_1(X-\{\infty\},e)$ given by iterated integrals of length $\leq n$ (as defined by Hain). In the geometric part, inspired by a work of Darmon, Rotger, and Sols, we express the mixed Hodge extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ given by the weight filtration on $\frac{L_n}{L_{n-2}}$ in terms of certain null-homologous algebraic cycles on $X^{2n-1}$. As a corollary, we show that the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ determines the point $\infty\in X-\{e\}$. The arithmetic part of the paper gives some number-theoretic applications of the geometric part. We assume that $X=X_0\otimes_K\mathbb{C}$ and $e,\infty\in X_0(K)$, where $K$ is a subfield of $\mathbb{C}$ and $X_0$ is a projective curve over $K$. Let $Jac$ be the Jacobian of $X_0$. We use the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ to associate to each $Z\in CH_{n-1}(X_0^{2n-2})$ a point $P_Z\in Jac(K)$, which can be described analytically in terms of iterated integrals. The proof of $K$-rationality of $P_Z$ uses that the algebraic cycles constructed in the geometric part of the paper are defined over $K$. Assuming a certain plausible hypothesis on the Hodge filtration on $L_n(X-\{\infty\},e)$ holds, we show that an algebraic cycle $Z$ for which $P_Z$ is torsion, gives rise to relations between periods of $L_2(X-\{\infty\},e)$. Interestingly, these relations are non-trivial even when one takes $Z$ to be the diagonal of $X_0$. The geometric result of the paper in $n=2$ case, and the fact that one can associate to $\mathbb{E}^\infty_{2,e}$ a family of points in $Jac(K)$, are due to Darmon, Rotger, and Sols. Our contribution is in generalizing the picture to higher weights.

研究の動機と目的

• 重み2から $n \geq 2$ の高次の重みへ、反復積分と代数的サイクルの幾何学的・算術的関係を拡張すること。
• 混合ホッジ拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ を実現する、$X^{2n-1}$ 上の明示的なホモロジーがゼロの代数的サイクルを構成すること。
• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ が、$X - \{e\}$ 上の穴の位置 $\infty$ を一意に決定することを示すこと。
• 反復積分を介して、$X_0^{2n-2}$ 内の代数的サイクルから、ジャコビアン $\mathrm{Jac}(K)$ 上の $K$-有理点を関連付けること。
• ねじれ点が $L_2(X - \{\infty\}, e)$ の周期の間の非自明な関係を誘導することを確立すること、対角サイクルに対しても同様である。

提案手法

• チェンの理論を用いて、長さ $\leq n$ の反復積分により、単模根 $\pi_1(X - \{\infty\}, e)$ 上の混合ホッジ構造 $L_n$ を構成する。
• 混合ホッジ構造を備えた拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ を、重みフィルトレーションの商 $\frac{L_n}{L_{n-2}}$ として定義する。
• $X^n$ への $X^{n-1}$ の対角埋め込みを用いて、$X^{2n-1}$ 上の代数的サイクル $\Delta_{n,e}$ および $Z^{\infty}_{n,e}$ を構成し、それらが拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ を表すようにする。
• アーベル・ジャコビ写像を用いて、各サイクル $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$ に対して、解析的に反復積分により記述される点 $P_Z \in \mathrm{Jac}(K)$ を関連付ける。
• 拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ のホッジフィルトレーションに関する仮定を用いて、ねじれ点 $P_Z$ が $L_2(X - \{\infty\}, e)$ の周期の間の関係を誘導することを証明する。
• 楕円曲線の場合には、条件なしに、このような周期関係が存在するための必要十分条件が $e - \infty$ がねじれであることであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み2から $n \geq 3$ の高次の重みへ、反復積分と代数的サイクルを結ぶ幾何的構成を一般化できるか？
• RQ2 混合ホッジ拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ は、穴あき曲線上の穴の位置 $\infty$ を一意に決定するか？
• RQ3 ホッジ理論的拡張 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ を用いて、$K$ 上に定義された曲線のジャコビアン上に $K$-有理点をどのように生成できるか？
• RQ4 関連する点 $P_Z$ がねじれのとき、どのような周期関係が生じるのか、またそれらはサイクル $Z$ にどのように依存するか？
• RQ5 楕円曲線の場合、対角サイクルによって誘導される周期関係の存在は、$e - \infty$ がねじれであることと同値か？

主な発見

• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ は、$X^{n-1}$ の対角埋め込みを用いて構成された、$X^{2n-1}$ 上のホモロジーがゼロの代数的サイクル $Z^{\infty}_{n,e}$ によって幾何的に実現される。
• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ は、幾何的構成の系として、$X - \{e\}$ 上の穴の位置 $\infty$ を一意に決定する。
• 各 $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$ に対して、この構成により $K$-有理点 $P_Z \in \mathrm{Jac}(K)$ が得られ、解析的に反復積分により記述される。
• ホッジフィルトレーションに関する仮定を仮定すると、ねじれ点 $P_Z$ は $L_2(X - \{\infty\}, e)$ の周期の間の非自明な関係を誘導する。対角サイクルに対しても同様である。
• genus 1 の場合、対角サイクルによって誘導される周期関係が存在するための必要十分条件は、$e - \infty$ がねじれであることであり、これは条件なしに証明されている。