[論文レビュー] Algebraic cycles on Hilbert modular fourfolds and poles of L-functions

Dinakar Ramakrishnan|ArXiv.org|Oct 11, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ガロア表現に関連するL関数の極と代数的サイクルの存在を結びつけることで、ヒルバートモジュラー4次元多様体上のcodimension 2の代数的サイクルに関するTate予想に対する強い証拠を提供する。四次の完全実体Kが二次部分体を持つ場合、L(s, Vₗ)のs = 3における極の位数が、codimension-2代数的サイクルの非CM部の次元に等しくなることを確立し、(2,4)-ケースにおける予想の検証を達成する。

ABSTRACT

In this paper we give some evidence for the Tate (and Hodge) conjecture(s) for a class of Hilbert modular fourfolds X, whose connected components arise as arithmetic quotients of the fourfold product of the upper half plane by congruence subgroups Γof SL(2, O_K), where O_K denotes the ring of integers of a quartic, Galois, totally real number field K. The expected relationship to the orders of poles of the associated L-functions is verified for abelian extensions of \Q. Also shown is the existence of homologically non-trivial cycles of codimension two which are not intersections of divisors.

研究の動機と目的

• ヒルバートモジュラー4次元多様体上のcodimension-2代数的サイクルに関するTate予想に対して、非自明な証拠を提供すること。
• ℓ-進ガロア表現に関連するL関数の極の位数と代数的サイクルの空間の次元との間の明確な関係を確立すること。
• ホロノミーの非CM部と、ヒルバートモジュラー形式のAsai L関数との関係を分析すること。
• Asai表現およびL関数の恒等式に関して、先行研究[Ra3]における符号の規約の誤りを是正すること。
• Asai転送およびそのファンクター理論的整合性とL関数の分解に関する、以前の結果の精錬と是正を行うこと。

提案手法

• ヒルバートモジュラー4次元多様体のBaily-Borel型およびトロイダルコンパクト化を用いて、数体上でのそのホモロジーおよび代数的サイクルを研究する。
• ヘッケキャラクタおよびヒルバートモジュラー新形式の理論を適用し、ガロア表現を構成し、それらをL関数に関連付ける。
• GL(2)/K上のカスプ的自動形式表現πに関するAsai L関数L(s, As(π))を分析し、Rankin-Selberg L関数L(s, As(π) × As(π)∨)と関連付ける。
• 基本拡大の公式As(π)ₖ ≅ π ⊠ (π∘θ)を用いて、Asai表現の構造とその自動形式性を研究する。
• Mackey理論および誘導の道具立てを用いて、ガロアの場合のAsai表現を分解し、θ不変量のときの可約性を導出する。
• Langlandsのテンソル誘導フレームワークに整合するように、[Ra3]における符号規約の誤りを、二次的特徴χδによるAsai表現のねじれで是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバートモジュラー4次元多様体上でのL関数L(s, Vₗ)のs = 3における極の位数は、codimension-2代数的サイクルの非CM部の次元に等しいか？
• RQ2 Asai L関数L(s, As(π))がカスプ的であるための条件は何か？また、これはπ∘θ ≇ π⊗μを満たす非同型性とどのように関係するか？
• RQ3 Asai表現の定義における符号規約の誤りが、[Ra3]におけるL関数恒等式に与える影響は何か？どのような是正が必要か？
• RQ4 ヒルバートモジュラー形式πのAsai転送Πは、ファンクター理論およびL関数恒等式L(s, Π × η) = L(s, π; r ⊗ η)によって特徴付けられるか？
• RQ5 ヒルバートモジュラー4次元多様体の文脈において、H⁴内のTate類とL関数の極との間の明確な関係は何か？

主な発見

• ヒルバートモジュラー4次元多様体のℓ-進ホモロジーに付随するL関数L(s, Vₗ)は、Cへに有理型に拡張可能であり、s = 3における極の位数がdim ℤ²(Xₖ)′に等しくなる。これは(2,4)-ケースにおけるTate予想の確認を示す。
• M/KのCM拡大におけるヘッケキャラクタΨに付随するヒルバートモジュラー新形式g_Ψに対して、Asai L関数L(s, As(π))がカスプ的であるための必要十分条件は、π∘θが任意のイデール類特徴χμに同型でない、すなわちπ∘θ ≇ π⊗μであることである。
• WK上の2次元ガロア表現σのAsai表現As(σ)は、M/Kがガロア拡大である場合、可約となり、L(s, As(σ) × As(σ)∨)に二重極をもたらす。これはAs(π)がカスプ的でないことを示唆する。
• [Ra3]における符号規約の是正には、Asai表現を二次的特徴χδでねじる必要があり、重要な式においてAs(σ)はAs(σ)⊗δに置き換えるべきである。
• F/GL(4)へのAsai転送Πは、すべてのイソバリック自動形式表現η of GL(2)/Fに対してL(s, Π × η) = L(s, π; r ⊗ η)を満たし、ファンクター理論的性質および正しく局所的成分を有することを確認する。
• 局所的成分Π_vは、ファンクター理論によって関連付けられるGL(4, F_v)の適切な可解表現であり、グローバルなAsai転送の正当性を裏付ける。