[論文レビュー] Algebraic cycles on the relative symmetric powers and on the relative Jacobian of a family of curves. II

B.J. Moonen, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|May 23, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ポンツリャーギン積構造を用いて、曲線族の無限相対対称べきのチャウホモロジーと、相対ヤコビアンのチャウホモロジー上のPD多項式代数との間に標準的同型を確立する。主な結果は、$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S) \cong \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$ であり、2つの異なる同型がクラス $\psi$ によって異なり、相対 canonical class に依存する。また、乗法マップ $[N]_*$ の作用に関して安定で、ボーヴィルの分解とは異なる新しいチャウ群への次数付き構造を導入する。

ABSTRACT

Let C be a curve over a non-singular base variety S. We study algebraic cycles on the symmetric powers C^[n] and on the Jacobian J. The Chow homology of C^[*], the sum of all C^[n], is a ring using the Pontryagin product. We prove that this ring is isomorphic to CH(J)[t], the PD-polynomial algebra (variable: u) over the usual polynomial ring (variable: t) over the Chow ring CH(J). We give two such isomorphisms that over a general base are different. Further we give some precise results on how CH(J) sits embedded in CH(C^[*]) and we give an explicit geometric description of how the derivations with regard to t and u act. Our results give rise to a new grading on the Chow ring of the Jacobian. After tensoring with Q the associated descending filtration coincides with the one coming from Beauville's decomposition. The grading we obtain is in general different from Beauville's. Finally we give a version of our main result for tautological classes, and we show how our methods give a very simple and geometric proof of some relations obtained by Herbaut and van der Geer-Kouvidakis.

研究の動機と目的

• 基底 $S$ 上の曲線族の相対対称べき $C^{[n]}$ と相対ヤコビアン $J$ の代数的サイクルの構造を理解すること。
• 無限対称べき $C^{[\bullet]}$ のチャウホモロジーとヤコビアンのチャウホモロジー上のPD多項式代数との間の環同型を確立すること。
• $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ に、乗法マップ $[N]_*$ の作用に関して安定で、ボーヴィルの分解とは異なる新しい次数付き構造を定義すること。
• コホモロジー的またはフーリエ双対性手法による既存の同型関係を幾何的証明で再構成すること。

提案手法

• ポンツリャーギン積を用いて、$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ に二重次数付き環構造を導入すること。
• $\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}: \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle \xrightarrow{\sim} \operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ という2つの異なる同型を構成し、それらはクラス $\psi = p_0^*K$ によって異なり、$K$ は相対 canonical class である。
• 第I部で定義された幾何的作用素 $P_{i,j}(a)$ を用いて、$\partial_t^{[m]}$ および $\partial_u$ の作用を明示的に幾何的に記述すること。
• マニンの原理を適用し、$S$ 上のチャウモチーフのind圏において同型をモチーフ的に解釈することで、$R_*(J/S)[\mathbf{1}]\langle\mathbf{1}(1)\rangle \cong R_*(C^{[\bullet]}/S)$ を得ること。
• 関連するイデアル上のPD構造との整合性を証明する。$\psi$- torsion が制御可能であり、滑らかで quasi-projective な基底の文脈においてPD構造が自然であることを利用すること。
• 対称関数とニュートンの恒等式を用いて、線形系に関する条件の下で $\operatorname{CH}_0(C^{[N]})_{\mathbb{Q}}$ および $\operatorname{CH}_0(J)_{\mathbb{Q}}$ における消滅結果を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポンツリャーギン積構造の下で、無限相対対称べき $C^{[\bullet]}$ のチャウホモロジーはどのように環として構造化されているか？
• RQ2 相対ヤコビアン $J$ のチャウホモロジーと対称べき $C^{[n]}$ のチャウホモロジーとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ に、乗法マップ $[N]_*$ の作用に関して安定で、ボーヴィルの分解とは異なる新しい次数付き構造を定義できるか？
• RQ4 $\partial_t^{[m]}$ および $\partial_u$ はチャウホモロジーにどのように作用するか？その幾何的意味は何か？
• RQ5 ハーブーとヴァン・デル・ゲアール＝クーヴィダキスの同型関係は、幾何的・モチーフ的議論によって再構成可能か？

主な発見

• チャウホモロジー $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ は、$\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$ に同型であり、これは $t$ に関する多項式代数と $u$ に関するPD多項式代数の合成であり、整数係数でPD構造と整合する。
• $\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$ から $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ への2つの異なる同型 $\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}$ が存在し、それらはクラス $\psi = p_0^*K$ によって異なり、一般には非ゼロである。
• $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ の $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ への埋め込みは標準的ではなく、同型の選択に依存し、相対 canonical class に関連する幾何的曖昧性を反映している。
• 新しい次数付き構造を $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ に定義し、それに対応する降下フィルトレーションがすべての $[N]_*$ マップに関して安定であり、$\mathbb{Q}$ にテンソルした後、$[N]_*$ は $m$ 番目の次数付き部分に $N^m$ の乗法として作用する。
• 新しい次数付き構造はボーヴィルの分解とは異なり、両者とはフーリエ双対性によって関係づけられる。
• 本稿では、ハーブーとヴァン・デル・ゲアール＝クーヴィダキスの同型関係の幾何的証明を提供し、$C$ が $k$ 上で $g^r_d$ を持ち、$N > d$ のとき、$A_*(J)_{\mathbb{Q}}$ 内で $\sum_{n_1+\cdots+n_r=N} (n_1-1)!\cdots(n_r-1)! \cdot \mathrm{cw}_{n_1}(C)*\cdots*\mathrm{cw}_{n_r}(C) = 0$ が成り立つことを示している。