[論文レビュー] Algebraic degrees for iterates of meromorphic self-maps of $¶^k$

Viêt‐Anh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、代数的安定写像よりも厳密に大きいクラスである、$\mathbb{P}^k$ 上の準代数的安定（QAS）なメラモーフィック自己写像を導入し、その反復写像が再帰的リフト構造を示すことを証明する。これにより、反復写像の代数的次数を正確に計算でき、第一力学的次数が常に代数的整数であることが示される。

ABSTRACT

We first introduce the class of quasi-algebraically stable meromorphic maps of $¶^k.$ This class is strictly larger than that of algebraically stable meromorphic self-maps of $¶^k.$ Then we prove that all maps in the new class enjoy a recurrent property. In particular, the algebraic degrees for iterates of these maps can be computed and their first dynamical degrees are always algebraic integers.

研究の動機と目的

• 代数的安定写像を一般化する、$\mathbb{P}^k$ 上のメラモーフィック自己写像の新規クラスである準代数的安定（QAS）写像を定義し、その性質を研究すること。
• 代数的安定でない写像の反復写像の代数的次数を計算する課題に取り組み、単純な次数増加 $\operatorname{d}(f^n) = \operatorname{d}(f)^n$ を示さない場合の問題を扱うこと。
• QAS写像に対して再帰的リフト法則を確立し、これにより $\operatorname{d}(f^n)$ の正確な計算が可能となり、第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ が代数的整数であることを証明すること。
• 代数的安定でない写像に対しても、次数列が取り扱えるクラスを同定することで、グリーンカレント理論の枠組みを拡張すること。

提案手法

• QAS写像を、反復リフト $F_n$ が遅延 $n_0$ 後に斉次多項式 $H_0$ で除算される再帰関係を満たす、$\mathbb{P}^k$ 上のメラモーフィック自己写像として定義する。
• 標準的な代数的安定写像の合成法則を一般化し、$n > n_0$ に対して $F_n = \frac{F_1 \circ F_{n-1}}{H_0 \circ F_{n-n_0-1}}$ によりリフト列 $F_n$ を構成する。
• リフト法則から導かれる再帰関係の特性多項式を用いて、代数的次数列 $\operatorname{d}(f^n)$ を分析する。
• 第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ が再帰の特性多項式のスペクトル半径に等しくなることを証明し、特性多項式の根の解析によりそれが実数の代数的整数であることを示す。
• プルバック作用と力学的次数の理論を用い、複素力学系の道具により再帰関係と次数の漸近的増加の関係を確立する。
• 主要定理を具体的な例に適用し、線形再帰の解法により $\operatorname{d}(f^n)$ の閉形式表現と $\lambda_1(f)$ の正確な値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的安定写像よりも広いクラスの、$\mathbb{P}^k$ 上のメラモーフィック自己写像を定義し、その反復写像の代数的次数が計算可能となるようにすることは可能か？
• RQ2 次数増加が取り扱える非代数的安定写像の反復リフトに支配的な再帰的構造は何か？
• RQ3 代数的安定クラスの外にある写像に対しても、第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ は常に代数的整数のままであるか？
• RQ4 代数的次数 $\operatorname{d}(f^n) \neq \operatorname{d}(f)^n$ であるが、次数列が線形再帰を満たす写像に対しても、グリーンカレント構成を拡張できるか？
• RQ5 QAS写像の $\operatorname{d}(f^n)$ の漸近的挙動を支配する特性多項式の正確な形とその根は何か？

主な発見

• 準代数的安定（QAS）なメラモーフィック自己写像のクラスは、代数的安定写像のクラスを厳密に含む。
• QAS写像では、斉次多項式による除算を含む修正されたリフト法則から導かれる線形再帰関係を満たす代数的次数 $\operatorname{d}(f^n)$ が成り立つ。
• 第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ は常に代数的整数であり、再帰の特性多項式のスペクトル半径に等しい。
• 例3.5では、$\operatorname{d}(f^n) = n+1$ かつ $\lambda_1(f) = 1$ であり、次数列は $\operatorname{d}(f^n) - 2\operatorname{d}(f^{n-1}) + \operatorname{d}(f^{n-2}) = 0$ を満たす。
• 例3.7では、$\operatorname{d}(f^n) = \frac{1}{\sqrt{29}}\left(\left(\frac{7+\sqrt{29}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{7-\sqrt{29}}{2}\right)^{n+1}\right)$ であり、$\lambda_1(f) = \frac{7+\sqrt{29}}{2}$ である。
• 証明により、$\lambda_1(f)$ は特性多項式の支配的根であり、対称性と根の優位性の議論からその実数性と代数的整数性が示される。