[論文レビュー] Algebraic Farkas Lemma and Strong Duality for Perturbed Conic Linear Programming

P. D. Khanh, V. V. H. Khoa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2026

Optimization and Variational Analysis被引用数 0

ひとこと要約

論文は、二重空間の対対での撚れた無限次元円錐線形計画の摂動に対して、Farkas補題と強双対性の代数的版をハイパーグラフィカル/エピグラフ的構成を用いて展開する。

ABSTRACT

This paper addresses the study of algebraic versions of Farkas lemma and strong duality results in the very broad setting of infinite-dimensional conic linear programming in dual pairs of vector spaces. To this end, purely algebraic properties of perturbed optimal value functions of both primal and dual problems and their corresponding hypergraph/epigraph are investigated. The newly developed hypergraphical/epigraphical sets, inspired by Kretschmer's closedness conditions \cite{Kretschmer61}, together with their novel convex separation-type characterizations, give rise to various perturbed Farkas-type lemmas which allow us to derive complete characterizations of ``zero duality gap''. Principally, when certain structures of algebraic or topological duals are imposed, illuminating implications of the developed condition are also explored.

研究の動機と目的

• デュアル対のベクトル空間における円錐線形計画の代数的（位相なし）版のFarkas補題と強双対性を動機づけ、分析する。
• 摂動された原始/双対定式化とそれらの最適値関数を導入し、零デュアリティギャップを検証可能な代数条件へ導く。
• Kretschmerの閉包性条件に触発されたハイパーグラフィカル/エピグラフ集合を展開し、それらを凸分離原理と結びつける。

提案手法

• 原始(P)と双対(D)の円錐LPを、PとQの円錐およびその随伴とともにデュアル対で定義する。
• 摂動された最適値関数v_Dとv_Pを構築し、それらのエピグラフ集合/ハイポグラフ集合N = epi v_DおよびM = hypo v_Pを作成する。
• これらの集合について同値性と分離表現（定理3.1および3.2）を証明する。
• 代数的基準としての条件(D): H = Nおよび条件(D*): K = Mを強双対性の代数的基準として導入する。
• 摂動されたFarkas補題（定理4.1）を、実現性・摂動・双対実現性を結ぶ代数的証明で提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トップロジーを用いずに無限次元の円錐LPにおいて純粋に代数的な条件で強双対性（零デュアルギャップ）を保証できるか。
• RQ2 摂動された双対性と代数的分離性は、費用の摂動下での実現可能性と最適値をどう特徴づけるか。
• RQ3 補助集合(H, K)の代数的閉包とエピ/ハイポ表現(N, M)との関係はどうなるか。
• RQ4 摂動された強双対性と同値になる検証可能な代数条件(D)と(D*)を導けるか。

主な発見

• エピグラフ的/ハイパーグラフィカルな集合NとMは、摂動されたデュアリティ情報を正しく符号化し、H ⊆ NおよびK ⊆ Mを満たす。
• val(P)またはval(D)が有限である場合、対応する点はNまたはMに位置し、実現可能性を摂動値関数へ結びつける。
• 本論文は条件(D)および条件(D*)を介した強双対性の代数的同値と、摂動されたFarkas補題（定理4.1）を証明する。
• NはHの代数的閉包acl(H)を含み、適切な条件下で代数的概念と位相的概念の間の関連を確立する。