[論文レビュー] Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

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ひとこと要約

本稿は、重み $-2$ の弱マース形式から得られるシータリフトを介して構成された、重み $-1/2$ の正則弱マース形式の特異モジュラー値のトレースの和として、分割関数 $ p(n) $ の有限代数的公式を確立する。係数 $ p(n) $ は、判別式 $-24n+1$ の類体における代数的数の有理関数として表され、モジュラー形式および特異モジュラー値を用いた明示的公式を含み、ラデマッハの正確な公式に対する新しい代数的解釈を提供する。

ABSTRACT

We prove that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic Maass forms are traces of singular moduli for weak Maass forms. To prove this theorem, we construct a theta lift from spaces of weight -2 harmonic weak Maass forms to spaces of weight -1/2 vector-valued harmonic weak Maass forms on Mp_2(Z), a result which is of independent interest. We then prove a general theorem which guarantees (with bounded denominator) when such Maass singular moduli are algebraic. As an example of these results, we derive a formula for the partition function p(n) as a finite sum of algebraic numbers which lie in the usual discriminant -24n+1 ring class field. We indicate how these results extend to general weights. In particular, we illustrate how one can compute theta lifts for general weights by making use of the Kudla-Millson kernel and Maass differential operators.

研究の動機と目的

• 分割関数 $ p(n) $ を、重み $-1/2$ の正則弱マース形式の特異モジュラー値から得られる代数的数の有限和として表現すること。
• 重み $-2$ の正則弱マース形式から、$\mathrm{Mp}_2(\mathbb{Z})$ 上の重み $-1/2$ のベクトル値形式へのシータリフトを構成すること。これは独立した価値を持つ結果である。
• 特異モジュラー値 $ P(\alpha_Q) $ が判別式 $-24n+1$ の類体に属する代数的数であり、分母が有界であることを証明すること。
• これらの代数的特異モジュラー値の数値近似を用いたアルゴリズム的手法により、$ p(n) $ を計算する方法を提供すること。

提案手法

• Eisenstein級数とDedekindのエータ関数を用いて、$ \Gamma_0(6) $ 上の重み $-2$ の有理型モジュラー形式 $ F(z) $ を構成する。
• 重み 0 に従い、$ \Delta P = -2P $ を満たす $ F(z) $ の非正則導関数として弱マース形式 $ P(z) $ を定義する。
• シータリフトを用いて $ F(z) $ を重み $-1/2$ のベクトル値正則弱マース形式に写像し、CM 点 $ \alpha_Q $ における特異モジュラー値 $ P(\alpha_Q) $ の構成を可能にする。
• 集合 $ \mathcal{Q}_n $ が、判別式 $-24n+1$ で $ a \equiv 0 \pmod{6} $ を満たす $ \Gamma_0(6) $-同値類であるとき、トレース $ \mathrm{Tr}(n) = \sum_{Q \in \mathcal{Q}_n} P(\alpha_Q) $ を定義する。
• $ p(n) = \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $ を証明し、$ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ が代数的整数であることを示す。
• モジュラー性およびフーリエ展開を用いて、$ P(\alpha_Q) $ が判別式 $-24n+1$ の類体に属すること、および $ H_n(x) $ の多項式が有理数係数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ Q \in \mathcal{Q}_n $ に対して $ (24n-1)P(\alpha_Q) $ が常に代数的整数か？
• RQ2 分割多項式 $ H_n(x) = \prod_{Q \in \mathcal{Q}_n} (x - P(\alpha_Q)) $ の既約性はいかなる状態か？
• RQ3 $ j $-特異モジュラー値に対するGross-Zagierの公式に類似した、$ H_n(x) $ の定数項の閉形式表現は存在するか？
• RQ4 特異モジュラー値 $ P(\alpha_Q) $ は、5, 7, 11 におけるラマヌジャンの分割合同式を説明する特別な合同性を持つだろうか？

主な発見

• 分割関数 $ p(n) $ は、正確に $ \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $ に等しく、ここで $ \mathrm{Tr}(n) $ は、判別式 $-24n+1$ で $ a \equiv 0 \pmod{6} $ を満たす正定倣2次形式の $ \Gamma_0(6) $-同値類の集合 $ \mathcal{Q}_n $ における $ P(\alpha_Q) $ の和である。
• 値 $ P(\alpha_Q) $ は、判別式 $-24n+1$ の類体に属する代数的数であり、$ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ は代数的整数である。
• $ n=1 $ の場合、分割多項式は $ H_1(x) = x^3 - 23x^2 + \frac{3592}{23}x - 419 $ であり、$ p(1) = 1 $ は特異モジュラー値の数値評価により確認された。
• $ n=2 $ の場合、$ H_2(x) $ の次数は 5 で、係数に 47 を含み、$ (24n-1)p(n) = 94 $ であり、多項式は $ \mathbb{Q}[x] $ に属する。
• $ n=3 $ の場合、$ H_3(x) $ の次数は 7 で、係数は有理数に属し、$ (24n-1)p(n) = 213 $ であり、定数項は $ \frac{2791651635293}{71^2} $ である。
• 本手法により、代数的特異モジュラー値の数値近似を用いた $ p(n) $ の計算のための新しいアルゴリズム的手法が得られ、$ H_n(x) $ は $ P(\alpha_Q) $ の完全なガロア軌道構造を符号化している。