[論文レビュー] Algebraic G-functions associated to matrices over a group-ring

Jean Bellissard, Stavros Garoufalidis|ArXiv.org|Aug 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自由群の有限ランク群環上の行列の冪のトレースの生成関数が、非可換有理関数および代数関数とハイマンの文脈自由言語に関する定理を用いて代数的G関数であることを証明する。この結果により、このような行列のノルムは代数的に計算可能な数であり、グリーン関数は代数的であることが示され、作用素代数、自由確率論、および数理物理学への応用が得られる。

ABSTRACT

Given a square matrix with elements in the group-ring of a group, one can consider the sequence formed by the trace (in the sense of the group-ring) of its powers. We prove that the corresponding generating series is an algebraic $G$-function (in the sense of Siegel) when the group is free of finite rank. Consequently, it follows that the norm of such elements is an exactly computable algebraic number, and their Green function is algebraic. Our proof uses the notion of rational and algebraic power series in non-commuting variables and is an easy application of a theorem of Haiman. Haiman's theorem uses results of linguistics regarding regular and context-free language. On the other hand, when the group is free abelian of finite rank, then the corresponding generating series is a $G$-function. We ask whether the latter holds for general hyperbolic groups. This version has an expanded introduction following suggestions from Lehner, Voiculescu and others.

研究の動機と目的

• 有限ランクの自由群の群環上の行列に対するグリーン関数の代数的性を確立すること。
• 生成関数の微分代数的性質と群論における語の問題および形式言語理論とを結びつけること。
• G関数の結果を、自由確率論およびスペクトル論の文脈における非可換設定へと拡張すること。
• 非可換関数論を用いた新しい代数的証明により、群環元のノルムの計算可能性を示すこと。
• 量子力学および強相関系物理学における代数的生成関数の関数解析的および物理的意味を探索すること。

提案手法

• 非可換変数における有理関数および代数的級数と文脈自由言語を結びつけるハイマンの定理を適用する。
• 自由群の群環における行列の冪のトレースを用いて、生成関数 R_P(z) を定義する。
• モーメント生成関数が非可換変数における代数的級数の行列であることを確立する。
• 文脈自由言語に関するチョムスキー＝シュッツェンベルガーの定理を用いて、R_P(z) の代数的性を証明する。
• z → 1/z の変換を用いて生成関数とリゾルベントトレースを結びつけ、スペクトル論に接続する。
• シュール補行列法を代替的な関数解析的証明として用い、量子化学および固体物理学において関連する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群の群環上の行列の冪のトレースの生成関数 R_P(z) は代数的か？
• RQ2 群が有限ランクの自由アーベル群である場合、生成関数はG関数のままであるか？
• RQ3 語の問題が文脈自由であるという事実を踏まえて、R_P(z) の代数的性は双曲的群へと拡張可能か？
• RQ4 R_P(z) とそのアーベル化 R_P^ab(z) の特異点どうしの関係は何か？
• RQ5 非可換変数におけるホロノミック関数の定義および構造は何か？

主な発見

• F_r が有限ランクの自由群であるとき、任意の行列 P ∈ M_N(Q[F_r]) に対して、生成関数 R_P(z) は代数的G関数である。
• M_N(Q[F_r]) の任意の元のノルムは、R_P(z) の代数的性に起因して代数的に計算可能な数である。
• P に関連するグリーン関数は代数的であり、L(F_r) 内の作用素に対する正確なスペクトル情報を提供する。
• モーメント生成関数は非可換変数における代数的級数の行列であるが、これは R_P(z) の代数的性よりも強い結果である。
• 自由アーベル群の場合、生成関数 R_P(z) はG関数ではあるが、必ずしも代数的ではない。
• シュール補行列法により関数解析的解釈が得られ、結果はリゾルベントトレースおよび量子系におけるスペクトル測度と結びつく。