[論文レビュー] Algebraic G-theory in motivic homotopy categories

Fangzhou Jin|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的G理論が不安定および安定なモチビックホモトピー圏の両方で表現可能であることを確立し、K理論に関連するBorel-Mooreモチビックホモロジーと同定する。主な貢献は、QuillenおよびThomasonの関手的構造（特に固有の押し出しと滑らかな引き戻し）と整合する、K理論のBorel-Moore理論とG理論の自然な同型である。

ABSTRACT

We prove that algebraic G-theory in is representable in unstable and stable motivic homotopy categories; in the stable category we identify it with the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, and show that such an identification is compatible with the functorialities defined by Quillen and Thomason.

研究の動機と目的

• 不安定および安定なモチビックホモトピー圏における代数的G理論の表現可能性を確立すること。
• 安定圏においてG理論がK理論に関連するBorel-Mooreモチビックホモロジーと同定されることを示すこと。
• この同定がQuillenおよびThomasonが定義した関手的構造（特に反変および固有の関手）と整合することを示すこと。
• モチビックホモトピー理論を用いて、Gysin準同型およびチャーン写像の整合性を特異的スキームへ拡張すること。

提案手法

• スキーム上の空間の圏を用いて、不安定なモチビックホモトピー圏におけるG理論のモデルを構成すること。
• スケジュールスペクトルからスケジュールスペクトルへの写像スペクトルを用いたG理論の表現可能性の証明。
• 構成を安定化することで、安定なモチビックホモトピー圏におけるスペンクトラムレベルの同型を得ること。
• 6関手形式的およびBorel-Moore理論の性質を用いて、G理論を有理数係数のモチビックコホモロジーと関係づけること。
• 法線コーンへの変形と境界写像を用いて、Gysin準同型と反変関手的構造の整合性を確立すること。
• 6関手形式的およびモチビックスペクトルを用いて、チャーン写像のproperおよびsmooth関手と整合することを定義および検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的G理論は不安定なモチビックホモトピー圏で表現可能か？
• RQ2 安定なモチビックホモトピー圏は、K理論に関連するBorel-Moore理論としてG理論を実現するか？
• RQ3 G理論とBorel-Moore K理論との同定は、Quillenの反変関手的構造と整合するか？
• RQ4 モチビック設定において、固有の押し出しと滑らかな引き戻しの下でも整合性は保たれるか？
• RQ5 グラフ構成を用いずに、G理論から有理数係数のBorel-Mooreモチビックコホモロジーへのチャーン写像を定義し、関手的構造と可換であることを示せるか？

主な発見

• 代数的G理論は不安定および安定な両方のモチビックホモトピー圏で表現可能である。
• 安定圏において、G理論はK理論に関連するBorel-Mooreモチビックホモロジーと同型であり、明示的な同型 $\mathbf{KGL}^{BM}_{n,m}(X/S) \simeq G_{n-2m}(X)$ が存在する。
• Borel-Moore理論の固有関手的構造は、G理論における固有の押し出しと正確に一致する。
• Borel-Moore理論におけるlci準同型のGysin準同型は、G理論の反変関手的構造に対応する。
• チャーン写像 $\mathrm{ch}: \mathbf{GGL} \to \oplus_{i\in\mathbb{Z}} \mathbf{H}\mathbb{Q}^{BM}(i)[2i]$ は、固有および滑らかな関手と整合する。これはFuldeのリーマン・ローチ定理を特異的スキームへ一般化する。
• MacPhersonのグラフ法を避けて、代わりにモチビックホモトピー理論および6関手形式的を用いる。