[論文レビュー] Algebraic Geometric codes from Kummer Extensions

Daniele Bartoli, Luciane Quoos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は有限体上のKummer拡張 $ y^m = f(x) $ を用いて代数的幾何的符号を構築し、複数の有理点におけるWeierstrass半群と純ギャップに焦点を当てる。純ギャップの算術的特徴付けを提供し、最小距離が向上しSingleton欠陥が低減された $ n $-点AG符号を構成する。特に、ハーミート曲線に基づく符号では既知の境界を上回る性能を示す。

ABSTRACT

For Kummer extensions defined by $y^m = f (x)$, where $f (x)$ is a separable polynomial over the finite field $\mathbb{F}_q$, we compute the number of Weierstrass gaps at two totally ramified places. For many totally ramified places we give a criterion to find pure gaps at these points and present families of pure gaps. We then apply our results to construct many points algebraic geometric codes with good parameters.

研究の動機と目的

• 有限体上のKummer拡張 $ y^m = f(x) $ における複数の有理点における純ギャップを特徴付けること。
• 複数点におけるWeierstrass半群の算術的条件を用いて純ギャップを特定する基準を確立すること。
• 特にGoppaの境界を上回る最小距離を実現する、強化されたパラメータを持つ $ n $-点代数的幾何符号を構築すること。
• Kummer曲線から導かれるAG符号におけるSingleton欠陥 $ \delta = n+1-k-d $ を低減すること。
• ハーミート関数体における明示的構成を通じて、本手法の有効性を実証し、MinTテーブルを上回ることを示すこと。

提案手法

• 複数の有理点におけるWeierstrass半群理論を用いて、Kummer拡張 $ y^m = f(x) $ におけるギャップと純ギャップを分析する。
• 一般化されたWeierstrass半群の理論を応用し、$ s $ 個の異なる有理点における純ギャップの算術的条件を導出する。
• 純ギャップ条件を検証するための式 $ \left\lfloor \frac{a_0 - rt}{m} \right\rfloor + \sum_{i=1}^s \left\lfloor \frac{a_i + t}{m} \right\rfloor < 0 $ を用いる。
• G = \sum (a_i + b_i - 1)P_i である $ C_\Omega(D,G) $ 構成法により $ [n,k,d] $-符号を構成する。ここで $ (a_i), (b_i) $ は純ギャップである。
• 次元 $ k = n + g - 1 - \deg G $ を計算し、Goppaの境界 $ d \geq \deg G - (2g - 2) $ を純ギャップ構造を用いて精緻化する。
• 性能指標としてSingleton欠陥 $ \delta = n+1-k-d $ を用い、純ギャップ族を用いて上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kummer拡張 $ y^m = f(x) $ における2つの完全分岐有理点におけるWeierstrassギャップの数は何か？
• RQ2 このような拡張における $ s $ 個の異なる有理点における純ギャップを特徴付ける算術的条件は何か？
• RQ3 Kummer拡張において、AG符号のパラメータを向上させるために純ギャップを体系的に構成する方法は何か？
• RQ4 $ n $-点AG符号の最小距離が、古典的Goppa境界をどの程度上回れるか？
• RQ5 特にハーミート関数体において、Kummer曲線から構築された $ n $-点符号のSingleton欠陥を低減できるか？

主な発見

• m = ur+1 であるKummer拡張 $ y^m = f(x) $ に対して、2つの完全分岐有理点におけるWeierstrassギャップの数が明示的に計算され、従来の結果が一般化された。
• 不等式 $ \left\lfloor \frac{a_0 - rt}{m} \right\rfloor + \sum_{i=1}^s \left\lfloor \frac{a_i + t}{m} \right\rfloor < 0 $ を用いた、$ s $ 個の有理点における純ギャップの基準が確立された。ここで $ t = 0, \dots, m-1 $ である。
• 純ギャップの族が構成され、特に $ (a_1,\dots,a_s) = ((r-s-1)m+1,1,\dots,1) $ および $ (b_1,\dots,b_s) = ((r-s-1)m+su, (s-1)u, \dots, u) $ が含まれる。
• 純ギャップが $ s $ 個の点に存在する符号に対して、Singleton欠陥が $ \delta \leq \frac{ur(r-1) - us(s+1)}{2} $ で有界付けられ、標準的境界を上回ることを示した。
• ハーミート曲線の場合（$ q^2 $, $ r = q $, $ u = 1 $）では、構築された符号がMinTテーブルを最大3単位上回る最小距離を達成し、特に $ s=2,3,4 $ の場合に顕著な改善を示した。
• 例題4.8では、$ q=49 $, $ s=2 $ の場合、符号は $ n=342 $, $ k=295 $, $ d \geq 30 $ となり、MinTテーブルに比べて最小距離が3単位向上した。