[論文レビュー] Algebraic geometric construction of a quantum stabilizer code

Ryutaroh Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、有限体上の関数体の自己同型を用いて、二値量子安定化子符号の新しい代数的幾何的構成を提案する。代数曲線から導かれる自己直交部分空間を活用することで、先行する境界（Ashikhmin-Litsyn-Tsfasmanなど）を上回る、より良好なキーレートと最小距離のトレードオフを実現する、漸近的に良い$[[n,k,d]]$符号の系列が得られる。

ABSTRACT

The stabilizer code is the most general algebraic construction of quantum error-correcting codes proposed so far. A stabilizer code can be constructed from a self-orthogonal subspace of a symplectic space over a finite field. We propose a construction method of such a self-orthogonal space using an algebraic curve. By using the proposed method we construct an asymptotically good sequence of binary stabilizer codes. As a byproduct we improve the Ashikhmin-Litsyn-Tsfasman bound of quantum codes. The main results in this paper can be understood without knowledge of quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 証明可能な良好な漸近的パラメータを有する、体系的で代数的幾何学的である量子安定化子符号の構築法を開発すること。
• 膨大な探索に依存せずに、長大で高レートの量子エラー訂正符号を効率的に構築する課題に対処すること。
• 曲線の自己同型と自己直交部分空間を活用することで、二値量子符号のレート-距離トレードオフの漸近的境界を改善すること。
• 代数曲線の点のより効率的な利用により、Ashikhmin-Litsyn-Tsfasmanの境界を洗練・上回ること。

提案手法

• 有限体$\mathbb{F}_q$上の代数的関数体$F/\mathbb{F}_q$と2次の自己同型$\sigma$を用いて、$\mathbb{F}_q$上でのシンプレクティック空間における自己直交部分空間を構築する。
• 固定体$F^\sigma$と除数$G_0$を用いて、リーマン・ロッホ空間$L(G_0 + jP_\infty)$を定義し、これにより古典的符号を生成する。
• 符号$C(G_0 + jP_\infty)$が$\mathbb{F}_{2^{2m}}$上で自己直交であることを用いて、シンプレクティック双対性条件$C \supseteq C^{\perp_s}$を満たす。
• Calderbank, Shor, Steane, Gottesmanの安定化子符号構成法を用い、古典的符号の次元と最小距離から量子符号パラメータを導出する。
• リーマン・ロッホ定理と$n_i/g_i \to (2^m - 1)/2$の漸近的解析を用いて、限界的なレートと距離パラメータを導出する。
• 以前の研究で$g_i$個の点を捨てていたのに対し、本手法では曲線上の$N_i$個の点を完全に活用することで、構成を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体およびその自己同型から、体系的な代数的幾何的量子安定化子符号の構成を導出可能か？
• RQ2 この構成法により、既存の境界と比較して、どの程度の漸近的レート-距離トレードオフが達成可能か？
• RQ3 シンプレクティック空間における自己直交性条件は、代数的曲線と除数論を用いてどのように実現できるか？
• RQ4 曲線の点のより効率的な利用により、Ashikhmin-Litsyn-Tsfasmanの構成を改善可能か？
• RQ5 自己同型を伴う代数的曲線から構築された二値量子符号の最適な漸近的性能は何か？

主な発見

• 本構成により、$\liminf_{i\to\infty} k_i/n_i \geq R^{(1)}(\delta)$および$\liminf_{i\to\infty} d_i/n_i \geq \delta$を満たす、漸近的に良い二値$[[n_i, k_i, d_i]]$安定化子符号の系列が得られる。ここで$R^{(1)}(\delta)$は明示的に定義される。
• レート関数$R^{(1)}(\delta)$は、$\frac{2^{m-1}}{(2^m-1)(2^{m+1}-1)} \leq \delta \leq \frac{2^{m-2}}{(2^{m-1}-1)(2^m-1)}$の範囲で、Ashikhmin-Litsyn-Tsfasmanの境界を上回る漸近的レートを達成する。
• 曲線上の$N_i$個の点を$g_i$個を捨てることなく完全に活用することで、漸近的レートは$R_m^{(\text{ALT})}(\delta) = 1 - \frac{10}{3}m\delta - \frac{2}{2^m - 1}$に向上し、[2]のオリジナルの境界を上回る。
• 改善された境界$R^{(\text{ALT})}(\delta)$は、$\delta \in \left[\frac{3 \cdot 2^m}{5(2^m-1)(2^{m+1}-1)}, \min\left\{\frac{5}{84}, \frac{3 \cdot 2^{m-1}}{5(2^{m-1}-1)(2^m-1)}\right\} \right]$の区間で有効であり、性能の向上を示す。
• 本構成は、量子力学の知識を必要とせず、有限体と代数的幾何学のみに依存する。
• 本手法は、明示的な漸近的パラメータ（曲線の種数と点数から導出）を備えた、高レート・高距離の量子符号を体系的に生成する代数的幾何学的フレームワークを提供する。