[論文レビュー] Algebraic-geometric matrix-free multigrid on dynamically adaptive Cartesian meshes.

Marion Weinzierl, Tobias Weinzierl|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、動的適応メッシュを対象とした行列非依存 multigrid スolver を提案する。この手法は、スパネットリー階層内に代数的 multigrid 演算子をステンシルとして埋め込み、明示的な行列構築を回避しつつ、インラインでの行列ベクトル積を効率的に行える。演算子を幾何的対応物からの差分として階層的に表現することにより、低メモリオーバーヘッドを実現し、マルチスケール領域分割を用いた並列計算を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a family of spacetree-based multigrid solvers that do not maintain a matrix data structure and rely on the spacetree's multiscale nature to derive coarse grids. The most sophisticated solvers from the family pick up the concept of BoxMG, which defines operator-dependent prolongation and restriction in combination with (Petrov-)Galerkin coarse grid operators. It yields robust solvers for nontrivial elliptic problems. We propose to embed the algebraic, problem- and grid-dependent multigrid operators as stencils into the grids, to evaluate all matrix-vector products in-situ throughout grid traversals, and, thus, to avoid assembly overhead that is notably cumbersome for dynamically adaptive grids. While such an approach is not literally matrix-free---the grid carries the matrix---we propose switch to a hierarchical two-scale representation of all operators. Only differences of algebraic operators to their geometric counterparts are held. These hierarchical differences can be held and exchanged with small memory footprint. Our solvers support arbitrary dynamically adaptive grids and vertically integrate the multilevel operations through spacetree linearisation which yields good memory access characteristics, while standard colouring of mesh entities with a multiscale domain decomposition allow us to run the scheme on parallel computers.

研究の動機と目的

• 動的適応カルテシアングリッドにおける multigrid スolver の行列構築オーバーヘッドを排除すること。
• 非構造的適応メッシュ上での複雑な楕円型問題に対して、強固な multigrid 収束を実現すること。
• マルチスケール領域分割とグリッド線形化を用いて、効率的な並列計算を可能にすること。
• 幾何的演算子からの代数的演算子の差分のみを格納することで、メモリ使用量を最小限に抑えること。
• マルチレベル演算をスパネットリーデータ構造内にシームレスに統合すること。

提案手法

• メッシュの multigrid 階層をスパネットリーで表現し、粗いグリッドを木のマルチスケール構造から導出する。
• 行列ベクトル積をグリッド走査中にインラインで計算し、明示的な行列格納を回避する。
• 代数的演算子をステンシルとして埋め込み、幾何的演算子からの差分として階層的に表現する。
• 問題およびグリッドの特性に適合した BoxMG スタイルの prolongation および restriction 演算子を採用する。
• 二スケール表現により、幾何的演算子に対する代数的補正のみを格納することで、メモリフットプリントを削減する。
• メッシュ要素の標準的カラー化とスパネットリーの線形化により、コalesced メモリアクセスを実現し、並列実行を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的適応カルテシアンメッシュ上での行列非依存 multigrid を、行列構築なしに効率的に実装する方法は何か？
• RQ2 代数的演算子の階層的表現は、メモリ使用量を削減しつつ、ソルバーの強健性を維持できるか？
• RQ3 スパネットリーに基づくマルチスケール構造は、強健な粗いグリッド移行演算子をどのようにサポートするか？
• RQ4 従来の構築手法と比較して、インラインでの行列ベクトル積の性能への影響は何か？
• RQ5 マルチスケール領域分割を用いた場合、並列アーキテクチャ上で効率的にスケーリングできるか？

主な発見

• 明示的な行列構築が不要となり、動的適応グリッドに対して著しいオーバーヘッド削減が達成された。
• 代数的演算子の階層的表現により、幾何的対応物からの差分のみを格納することで、メモリ使用量が削減された。
• 問題およびグリッド依存の prolongation および restriction を用いることで、非自明な楕円型問題に対しても強健な収束が達成された。
• スパネットリーの線形化により、良好なメモリアクセスパターンが得られ、キャッシュ効率が向上した。
• スパネットリーを介したマルチレベル演算の垂直統合により、効率的な並列実行が可能になった。
• マルチスケール領域分割と要因カラー化を用いることで、並列コンputーリングにおけるスケーラブルなパフォーマンスが実現された。