[論文レビュー] Algebraic (geometric) $n$-stacks

Carlos Simpson|ArXiv.org|Sep 17, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、滑らかな準同型を用いた $n$-スタックの圏におけるアーティンの代数的 $1$-スタックの定義の帰納的一般化を通じて、代数的（幾何的）$n$-スタックの定義を提示する。主な貢献は、de Rham コホロロジーおよび平坦なバンドルのモジュライの文脈において、幾何的 $n$-スタックが表現可能であり、ガウス＝マイン接続とホッジフィルトレーションを有することの確立である。

ABSTRACT

We propose a generalization of Artin's definition of algebraic stack, which we call {\em geometric $n$-stack}. The main observation is that there is an inductive structure to the definition whereby the ingredients for the definition of geometric $n$-stack involve only $n-1$-stacks and so are already previously defined. We use this inductive structure to obtain some basic properties. We look at maps from a projective variety into certain such $n$-stacks, and obtain an interpretation of the Brill-Noether locus as the set of points of a geometric $n$-stack. At the end we explain how this provides a context for looking at de Rham theory for higher nonabelian cohomology, how one can define the Hodge filtration and so on.

研究の動機と目的

• アーティンの代数的 $1$-スタックの定義を高次 $n$ へ一般化することで、代数的 $n$-スタックの理論を形式化すること。
• 滑らかな準同型を用いた $n$-スタック間の帰納的構造に基づき、幾何的 $n$-スタックを定義すること。
• 幾何的 $n$-スタックが [Si5] の意味で表現可能であることを示し、切断およびポストニコフタワーの構成を可能にすること。
• 相対的準同型スタックを用いて、高次非アーベルコホロロジー スタックへのガウス＝マイン接続およびホッジフィルトレーションの拡張を実現すること。
• これらの構成が、平坦バンドルのモジュライおよび de Rham コホロロジーを含む、解析的および代数的設定へ一般化できることを示すこと。

提案手法

• 滑らかな準同型を用いて、スキームから $n$-スタックへの写像を要件とすることで、$(n-1)$-スタックからの構成を用いて幾何的 $n$-スタックを帰納的に定義する。
• $1$-スタックの場合の一般化として、$n$-スタック間の滑らかな準同型の概念を用い、持ち上げ性質を通じて幾何的準同型を定義する。
• [Si5] の枠組みを用いて、ホモトピー・ファイバー積および切断の閉包性を示すことで、幾何的 $n$-スタックの表現可能性を確立する。
• de Rham 準同型 $X_{DR} \to S_{DR}$ 沿いの準同型スタックの引き戻しによりガウス＝マイン接続を構成し、$S_{DR}$ への降下を示す。
• 連結で非常に表現可能な $n$-スタック $T$ に対して、$Hom(X_{DR}, T)$ 上のホッジフィルトレーションを定義し、古典的 de Rham コホロロジーを一般化する。
• 対数的およびコンパクト化された設定へ拡張するため、$\overline{X}_{\rm Hod}(\log D) \to \overline{S}_{\rm Hod}(\log E)$ を用い、グリフィスの横断性と正則性を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティンの代数的 $1$-スタックの定義を、滑らかな準同型に基づく帰納的構造を用いて高次 $n$-スタックへ一般化できるか？
• RQ2 幾何的 $n$-スタックの概念は切断に関して閉じているか、それとも表現可能性のようなより強い条件を要するか？
• RQ3 一般の $n$-スタック $T$ に対して、高次非アーベルコホロロジー スタック $Hom(X_{DR}/S_{DR}, T)$ へガウス＝マイン接続を拡張できるか？
• RQ4 $T = K({\cal O}, n)$ または $T = BG$ のとき、$Hom(X_{DR}, T)$ 上のホッジフィルトレーションは、古典的 de Rham コホロロジーを一般化するか？
• RQ5 解析的設定において、相対的準同型スタック $Hom(X_{\rm Hod}/H^\mathrm{an}, T)$ を定義でき、$S_{DR}$ に降下するか？

主な発見

• 幾何的 $n$-スタックは [Si5] の意味で表現可能であり、ホモトピー・ファイバー積および切断に関して閉じているため、ポストニコフタワーの構成が可能である。
• $Hom(X_{DR}/S_{DR}, T) \to S_{DR}$ は幾何的である。これは、任意の連結で非常に表現可能な $n$-スタック $T$ に対して、ガウス＝マイン接続が $S_{DR}$ に降下することを示している。
• $T = K({\cal O}, n)$ または $T = BG$ のとき、$Hom(X_{DR}, T)$ 上のホッジフィルトレーションは、古典的 de Rham コホロロジーを一般化し、高次非アーベル類似物を提供する。
• 対数的コンパクト化された設定において、$Hom(\overline{X}_{\rm Hod}(\log D)/\overline{S}_{\rm Hod}(\log E), T) \to \overline{S}_{\rm Hod}(\log E)$ は幾何的であり、グリフィスの横断性と正則性を統一する。
• 解析的バージョンの準同型スタック $Hom(X_{\rm Hod}/H^{\rm an}, T)$ は解析的 $n$-スタックであり、$T$ が代数的であるとき、それは代数的準同型スタックの解析化である。
• ガウス＝マイン接続およびホッジフィルトレーションの構成は、半安定性条件を要せず、解析的圏へそのまま拡張可能である。