[論文レビュー] Algebraic-geometrical n-orthogonal curvilinear coordinate systems and solutions to the associativity equations

I. M. Krichever|ArXiv.org|Nov 20, 1996

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、補助代数曲線のリーマン・シータ関数を用いて、平坦空間における代数幾何的n-直交曲線座標系を構成する。Egoroff計量のポテンシャルおよびトポロジカル量子場理論の分配関数の正確な公式を導出し、可積分系と量子コホホモロジーとの間の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

Algebraic-geometrical n-orthogonal curvilinear coordinate systems in a flat space are constructed. They are expressed in terms of the Riemann theta function of auxiliary algebraic curves. The exact formulae for the potentials of algebraic geometrical Egoroff metrics and the partition functions of the corresponding topological field theories are obtained.

研究の動機と目的

• 代数幾何的手法を用いて平坦空間におけるn-直交曲線座標系を構成すること。
• 補助代数曲線のリーマン・シータ関数を用いてEgoroff計量のポテンシャルを表現すること。
• これらの座標系に関連するトポロジカル量子場理論の分配関数の正確な公式を導出すること。
• 結合則方程式の解とリーマン面上の代数幾何的データとの間の対応関係を確立すること。
• KP階層のtau関数を用いて、Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（WDVV）方程式の解を代数幾何的対象として幾何的に実現すること。

提案手法

• 固定された genus g の代数曲線に関連するリーマン・シータ関数を用いて、座標系をパrametrizeする。
• リーマン・シータ関数の特徴と有理型微分形式を用いて、Egoroff計量条件を解くことによりn-直交座標系を構成する。
• 代数曲線およびラインバンドルの理論を適用し、リーマン・シータ関数とその微分を用いて計量ポテンシャルを定義する。
• トポロジカル量子場理論の分配関数を、リーマン・シータ関数の特徴とプライム形式を含む双線形形式として導出する。
• Hirotaの双線形法およびtau関数形式を用いて、結合則（WDVV）方程式の解と関連付ける。
• リーマン・シータ関数を通じて、Frobenius多様体の平坦構造と代数幾何的データとの間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦空間におけるn-直交曲線座標系は、代数幾何学を用いてどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 このような座標系におけるEgoroff計量のポテンシャルの明示的な代数幾何的表現は何か？
• RQ3 トポロジカル量子場理論の分配関数は、リーマン面の幾何からどのように生じるか？
• RQ4 結合則方程式（WDVV）の解は、代数曲線のシータ関数からどのように導かれるか？
• RQ5 この文脈において、リーマン・シータ関数はFrobenius多様体の平坦構造をどのように符号化するか？

主な発見

• 本稿は、補助代数曲線のリーマン・シータ関数を用いて、平坦空間におけるn-直交曲線座標系を構成する。
• リーマン・シータ関数の特徴とプライム形式を用いて、Egoroff計量のポテンシャルの明示的公式を導出する。
• 関連するトポロジカル量子場理論の分配関数は、シータ関数とその微分の双線形結合として表現される。
• 結合則方程式（WDVV）の解は、KP階層のtau関数を介して代数幾何的対象として実現される。
• この構成により、Frobenius多様体と代数曲線との間の直接的な対応関係が確立される。
• この方法により、曲線およびラインバンドルのモジュライを用いて、WDVV方程式の解の完全な代数幾何的パrametrizationが得られる。