[論文レビュー] Algebraic geometry and projective differential geometry, Seoul National University concentrated lecture series, 1997

J. M. Landsberg|ArXiv.org|Sep 30, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ジョゼフ・M・ランズバーグが1997年に発表した代数幾何と射影的微分幾何に関する講義の拡張版および更新版を提示している。同論文は、同次的多様体、有理被覆的・完全交差多様体、双対多様体および接線多様体、接線的欠損を示す二次曲面の系に焦点を当てている。同論文は、同次的空間および二次曲面によって定義される多様体を認識するための幾何的基準を提供し、射影的微分不変量およびガウス写像の位相的性質を用いて代数多様体の分類を進める。

ABSTRACT

This is an expanded and updated version of a lecture series I gave at Seoul National University in September 1997. It is in some sense an update of the 1979 Griffiths and Harris paper with a similar title. I discuss: Homogeneous varieties, Topology and consequences Projective differential invariants, Varieties with degenerate Gauss images, When can a uniruled variety be smooth?, Dual varieties, Linear systems of bounded and constant rank, Secant and tangential varieties, Systems of quadrics with tangential defects, Recognizing uniruled varieties, Recognizing intersections of quadrics, Recognizing homogeneous spaces, Complete intersections. This is a preliminary version, so please send me comments, corrections and questions.

研究の動機と目的

• 1979年のグリフィスズ＝ハリスのサーベイを、新しい結果と視点を加えて代数幾何と射影的微分幾何の分野で拡張・更新すること。
• 特に有理被覆的および完全交差多様体を分類するための幾何的不変量と位相的道具を開発すること。
• 射影的微分幾何とランクが有界な線型系を用いて、同次的空間および二次曲面の交差を識別する基準を提供すること。
• ガウス写像が退化している多様体および二次曲面の系における接線的欠損を有する多様体の構造を調査すること。
• 接線多様体・接線的多様体、双対多様体、射影的不変量の研究を通じて、代数幾何と微分幾何の間の関係を確立すること。

提案手法

• 代数多様体の幾何的性質、特にガウス写像とその像を分析するために、射影的微分不変量を用いる。
• 代数多様体のガウス写像における退化の影響を位相的手段を用いて検討する。
• ランクが有界かつ一定の線型系を分析することで、有理被覆的および完全交差多様体を特徴付ける。
• 接線多様体と接線的多様体を用いて、代数多様体の局所的および大域的構造とその埋め込みを研究する。
• 接線的欠損を示す二次曲面の系を調査し、それらが基礎となる多様体に及ぼす幾何的制約を導出する。
• 双対多様体と射影的双対性を用いて、同次的空間および二次曲面の交差を識別する基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理被覆的多様体が滑らかになる条件は何か？ どのような幾何的制約が滑らかさを強制するか？
• RQ2 何らかの不変量や構造的性質があれば、多様体が完全交差または二次曲面の交差として識別可能になるか？
• RQ3 ガウス写像における退化が、代数多様体の大域的幾何と位相に与える影響は何か？
• RQ4 同次的多様体を他の有理被覆的または完全交差多様体から区別する基準は何か？
• RQ5 接線的欠損を示す二次曲面の系は、関連多様体の幾何にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 本論文は、特定の有界ランク線型系を備えた有理被覆的多様体が、特定の幾何的制約のもとで滑らかである必要があることを確立している。
• 接線多様体および接線的多様体の構造を用いて、二次曲面の交差として定義される多様体の特徴づけがなされた。
• ガウス写像が退化している多様体は、特別な射影的不変量を有しており、それらが埋め込みと位相に制約を加えることが示された。
• 双対多様体と射影的双対性を用いて、有理被覆的多様体の中での同次的空間の識別基準が導出された。
• 接線的欠損を示す二次曲面の系は、特別な線型系の存在および幾何的退化と関連していることがわかった。
• ガウス写像の位相が、特に完全交差多様体の場合、多様体の大域的構造に強い影響を及ぼすことが示された。