[論文レビュー] Algebraic Geometry of Discrete Dynamics. The case of one variable

V. Dolotin, Aleksandr Morozov|ArXiv.org|Jan 28, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、多項式写像のモジュライ空間における判別式多様体としてのマンデルブロ集合の境界を特定することにより、離散的力学系と代数幾何学の間の基礎的関係を確立する。ユニバーサルマンデルブロ集合上にジュリア層を導入し、分岐が代数的交差から生じることを示す。結果式および判別式解析を用いて、基本的グラフに符号化された組合せ的構造を明らかにし、代数幾何学によってカオスと可積分性を統一する。

ABSTRACT

We argue that discrete dynamics has natural links to the theory of analytic functions. Most important, bifurcations and chaotic dynamical properties are related to intersections of algebraic varieties. This paves the way to identification of boundaries of Mandelbrot sets with discriminant varieties in moduli spaces, which are the central objects in the worlds of chaos and order (integrability) respectively. To understand and exploit this relation one needs first to develop the theory of discrete dynamics as a solid branch of algebraic geometry, which so far did not pay enough attention to iterated maps. The basic object to study in this context is Julia sheaf over the universal Mandelbrot set. The base has a charateristic combinatorial structure, which can be revealed by resultant analysis and represented by a basic graph. Sections (Julia sets) are contractions of a unit disc, related to the action of Abelian $\bb{Z}$ group on the unit circle. Their singularities (bifurcations) are located at the points of the universal discriminant variety.

研究の動機と目的

• 反復写像の研究を通じて、離散的力学系を代数幾何学の厳密な分野として確立すること。
• 多項式写像のモジュライ空間における判別式多様体として、マンデルブロ集合の境界を同定し、カオスと可積分性を結びつけること。
• ユニバーサルマンデルブロ集合上におけるジュリア集合の層理論的枠組みを構築し、写像パラメータ依存性を捉えること。
• 周期軌道の結果式および判別式解析を通じて、分岐の組合せ的構造を明らかにすること。
• ユニバーサルマンデルブロ集合を階層的グラフ構造を持つ分離的判別式多様体として、幾何学的・代数的記述すること。

提案手法

• 反復写像の周期軌道およびその分岐を解析するために、代数幾何学的手法（結果式および判別式）を用いる。
• ユニバーサルマンデルブロ集合上にジュリア層を導入し、各ファイバーが与えられた写像パラメータに対応するジュリア集合を表す。
• 還元理論および組合せ的解析を用いて、軌道およびグランド軌道を分類し、特に次数dの多項式写像に対して適用する。
• 周期軌道の多重木から基本的グラフを構築し、ユニバーサル判別式多様体を頂点がストラトゥム、辺が結果式の既約成分を表す有向グラフとして表現する。
• 周期軌道の安定領域によって定義されるストラトゥムの和集合としてユニバーサルマンデルブロ集合を分析し、実コドイメンション1の判別式多様体によって分離されることを示す。
• 摂動理論および自己相似性解析を用いて、マンデルブロ集合およびジュリア集合のフラクタル構造を代数的言語で記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式写像のモジュライ空間における判別式多様体として、マンデルブロ集合の境界をどのように同定できるか？
• RQ2 ユニバーサルマンデルブロ集合の代数的幾何学的構造は何か？ そして、離散的力学系における分岐をどのように符号化しているか？
• RQ3 ジュリア集合をどのようにしてモジュライ空間上での層として体系的に記述できるか？ また、モノドロミーおよび特異点の役割は何か？
• RQ4 周期軌道およびその分岐の組合せ的構造は何か？ そして、結果式および判別式多様体にどのように符号化されているか？
• RQ5 ジュリア集合およびマンデルブロ集合の形状とフラクタル次元は、結果式や判別式などの代数的不変量からどのように生じるか？

主な発見

• ユニバーサルマンデルブロ集合の境界は、${\cal D}^{*} = {\cal R}^{*}$ として判別式多様体と特定され、実コドイメンション1のストラトゥムの和集合であり、周期軌道における分岐に対応する。
• ユニバーサル判別式多様体はストラトゥム ${\cal R}^{*}_{k}$ に分解され、それぞれが周期kの軌道の安定領域に対応し、既約成分 ${\cal R}^{*}_{k,mk}$ によって分離される。
• 判別式多様体の内部構造は、基本的グラフに符号化されており、頂点がストラトゥム ${\cal R}^{*}_{k}$、辺が既約結果式 ${\cal R}^{*}_{k,mk}$ を表す。交差 ${\cal R}^{*}_{n,k}$ が空でないのは、一方のインデックスが他方のインデックスを割り切る場合に限る。
• ジュリア集合は、${\bf Z}$-群の作用によって境界上の点が同一視される「バンドルドディスク」として記述され、分岐点でフラクタル構造が生じる。
• モジュライ空間上のジュリア集合の層は、基本的グラフ上の根付き木（スケルトン）によって構造化されており、グランド軌道および周期軌道の組合せ論を反映する。
• 既約結果式 ${\cal R}^{*}_{k,mk}$ により、同じ周期性および組合せ的型を有するすべての点が、モジュライ空間の断面において単一の連結成分に属することが保証される。