[論文レビュー] Algebraic groups over the field with one element

Oliver Lorscheid|ArXiv.org|Jul 22, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、トゥリフィード多様体と強い準同型を用いて、$ℝ_1$-スキームの圏を導入することで、$ℝ_1$ 上の代数群の枠組みを確立する。Titsの哲学を実現し、$ℝ_1$ に下がる分解型再帰的群、特に $ℝ(n)$ が、その $ℝ_1$-有理点がワイル群に対応することを示す。また、グラスマンニアンとシューベルト多様体が、対称群の商に対応する組合せ的点数を持つ $ℝ_1$-スキームとしてモデル化される。

ABSTRACT

Remarks in a paper by Jacques Tits from 1956 led to a philosophy how a theory of split reductive groups over $\F_1$, the so-called field with one element, should look like. Namely, every split reductive group over $\Z$ should descend to $\F_1$, and its group of $\F_1$-rational points should be its Weyl group. We connect the notion of a torified variety to the notion of $\F_1$-schemes as introduced by Connes and Consani. This yields models of toric varieties, Schubert varieties and split reductive groups as $\Fun$-schemes. We endow the class of $\F_1$-schemes with two classes of morphisms, one leading to a satisfying notion of $\F_1$-rational points, the other leading to the notion of an algebraic group over $\F_1$ such that every split reductive group is defined as an algebraic group over $\F_1$. Furthermore, we show that certain combinatorics that are expected from parabolic subgroups of $\GL(n)$ and Grassmann varieties are realized in this theory.

研究の動機と目的

• 1956年にジャック・ティッツが提唱した哲学、すなわち、$ℝ$ 上の分解型再帰的群が $ℝ_1$ に下がり、その $ℝ_1$-有理点がワイル群になるという仮説を実現すること。
• $\mathbb{Z}$ への基本拡張と整合する $ℝ_1$-スキームの圏を構築し、$ℝ_1$-有理点が $ℝ^n$、$ℝ^{n-1}$、$ℝ(k,n)$ のようなスキームに対して期待される組合せ的集合と一致するようにすること。
• $ℝ_1$-スキームに二種類の準同型を定義する：一つは正しい $ℝ_1$-有理点数を保証し、もう一つは $ℝ_1$ 上の代数群の定義を可能にするものである。
• グラスマンニアンとシューベルト多様体が、対称群の商である組合せ的集合としての $ℝ_1$-点を持つ $ℝ_1$-スキームとしてモデル化可能であることを示すこと。
• $ℝ(n)$ の自然な作用が、$ℝ_1$-点を取ることで、$S_n$ による $M_{k,n}$ 上の整合的作用に引き上げられることを確認すること。

提案手法

• トゥリフィード多様体を用いて、スキームがトゥリフィケーション $e_X$ を持ち、トーラスへの分解を refining する $ℝ_1$-スキームの圏を導入する。
• 強い準同型を、トゥリフィケーションと $ℝ$ への基本拡張を両方で可換にする写像のペア $(\tilde{f}, f)$ として定義する。
• $\mathrm{GL}(n)$、パラボリック部分群、グラスマンニアンに対応する $ℝ_1$-スキーム $\mathcal{G}$、$\mathcal{P}$、$\mathcal{Q}$ を、それぞれの $ℝ$-モデルと整合するトゥリフィケーションを用いて構成する。
• ブルア・分解とシューベルト胞腔分解を用いて、$\mathrm{Gr}(k,n)$ にトゥリフィケーションを定義し、$T$-固定点に対応する 0 次元トーラスを導入する。
• $\mathcal{G}$、$\mathcal{P}$、$\mathcal{Q}$ の $ℝ_1$-有理点が、それぞれ $S_n$、$S_k \times S_{n-k}$、$S_n / (S_k \times S_{n-k})$ に同型であることを示す。
• $\mathcal{G}$ による $\mathcal{Q}$ 上の作用が、$ℝ_1$-点を取ることで、$S_n$ による $M_{k,n}$ 上の自然な作用を誘導することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解型再帰的群、たとえば $\mathrm{GL}(n)$ が、その $\u211d_1$-有理点がワイル群であるような $\u211d_1$ 上の代数群として定義可能か？
• RQ2 グラスマンニアン $\mathrm{Gr}(k,n)$ が、$\mathcal{Q}(\u211d_1) \simeq M_{k,n}$ すなわち $\{1,\dots,n\}$ の $k$ 要素部分集合の集合となるような $\u211d_1$-スキームモデルを有するか？
• RQ3 自然な作用 $\mathcal{G} \times \mathcal{Q} \to \mathcal{Q}$ が、$S_n$ による $M_{k,n}$ 上の標準的作用を誘導するような $\u211d_1$-スキームの整合的作用が存在するか？
• RQ4 パラボリック部分群やシューベルト多様体の組合せ論が、トゥリフィケーションと強い準同型を用いて $\u211d_1$-スキーム枠組みで実現可能か？
• RQ5 基本拡張により、$\u211d_1$-スキームが元の $\u211d$-スキーム、たとえば $\mathcal{G}_{\u211d} \simeq \mathrm{GL}(n)$ および $\mathcal{Q}_{\u211d} \simeq \mathrm{Gr}(k,n)$ を回復できるか？

主な発見

• $\mathrm{GL}(n)$ の $\u211d_1$-スキーム $\mathcal{G}$ の $\u211d_1$-有理点はワイル群 $S_n$ に同型であり、Titsの予想を実現する。
• グラスマンニアン $\mathrm{Gr}(k,n)$ の $\u211d_1$-スキーム $\mathcal{Q}$ は $\mathcal{Q}(\u211d_1) \simeq M_{k,n}$ を満たし、$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 要素部分集合の集合として、期待される数 $\binom{n}{k}$ と一致する。
• 作用 $\mathcal{G} \times \mathcal{Q} \to \mathcal{Q}$ は、インデックスの置換により、自然な作用 $S_n \times M_{k,n} \to M_{k,n}$ を誘導する。これは $\u211d$-作用との整合性を確認する。
• $\mathcal{Q}$ は、$\mathcal{P}$ と $\mathcal{G}$ の作用 $\lambda: \mathcal{P} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ の商として構成され、$\mathcal{P}$ はパラボリック部分群に対応する。
• 基本拡張 $\mathcal{G}_{\u211d}$ は $\mathrm{GL}(n)$ に同型であり、$\mathcal{Q}_{\u211d}$ は $\mathrm{Gr}(k,n)$ に同型である。これは正しい幾何的実現を確認する。
• シューベルト胞腔による $\mathrm{Gr}(k,n)$ のトゥリフィケーションは、$\u211d_1$-点が 0 次元トーラスから生じることを保証し、$S_n / (S_k \times S_{n-k})$ の組合せ的構造と整合する。