[論文レビュー] Algebraic hierarchy of logics unifying fuzzy logic and quantum logic

Andreas de Vries|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2007

Advanced Algebra and Logic参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、弱い二重否定、反対性、ブール的境界条件を満たすラティス上の一般化されたファジィ否定を定義することにより、統一的な代数的論理階層を提案する。この枠組みは、ファジィ論理、量子論理、パラコンシステント論理、直観的論理、およびブール論理を1つの代数的構造に統合し、ド・モーガンの法則が非対称であることを明らかにする——反対性は選言的法則を意味するが、連言的法則を意味しない——これにより、非正規的かつ非分配的ファジィ論理の新規な体系が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, a short survey about the concepts underlying general logics is given. In particular, a novel rigorous definition of a fuzzy negation as an operation acting on a lattice to render it into a fuzzy logic is presented. According to this definition, a fuzzy negation satisfies the weak double negation condition, requiring double negation to be expansive, the antitony condition, being equivalent to the disjunctive De Morgan law and thus warranting compatibility of negation with the lattice operations, and the Boolean boundary condition stating that the universal bounds of the lattice are the negation of each other. From this perspective, the most general logics are fuzzy logics, containing as special cases paraconsistent (quantum) logics, quantum logics, intuitionistic logics, and Boolean logics, each of which given by its own algebraic restrictions. New examples of a non-contradictory logic violating the conjunctive De Morgan law, and of a typical non-orthomodular fuzzy logic along with its explicit lattice representation are given.

研究の動機と目的

• ファジィ論理、量子論理、パラコンシステント論理、直観的論理、およびブール論理を含む多様な非古典的論理を統合する包括的な代数的枠組みを確立すること。
• 反対性が選言的だが連言的ド・モーガン法則を意味しないという、2つのド・モーガン法則の非対称性を解明すること。
• ファジィ論理が非矛盾的かつ非正規的（非orthomodular）であり得ることを示し、量子論理に関する古典的仮定に挑戦すること。
• ラティスに基づく論理と、効果代数のような非ラティス構造との基礎的差異を明確にし、後者を『論理』と呼ぶべきではないと主張すること。

提案手法

• 弱い二重否定（拡大的）、反対性（選言的ド・モーガン法則と同値）、およびブール的境界条件を満たすラティス演算としてのファジィ否定を定義する。
• ファジィ論理構造に追加の代数的制約を課すことにより論理の階層を構築する：パラコンシステンシー、非矛盾性、正規的（orthomodularity）、分配的性質、含意的構造。
• t-ノルムとその導来否定を用いて、有限かつ離散的なファジィ論理の例を生成する。これには非正規的ラティスも含まれる。
• ヒルベルト空間の部分空間およびエンタングルメントのない量子レジスタを用いて量子論理を分析し、分配的でないが正規的であることを示す。
• 非矛盾的論理における強い二重否定（$x = x''$）が排中律（tertium non datur）を意味することを示す。
• ラティスに基づく論理と、効果代数のような非ラティス構造を対比し、meetとjoinの欠如がド・モーガン法則を不成立にし、論理的関係と因果的関係の境界を曇らせることを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィ論理をどのように一般化すれば、量子論理、パラコンシステント論理、直観的論理、およびブール論理を1つの代数的枠組みに統合できるか？
• RQ2 なぜ反対性は選言的だが連言的ド・モーガン法則を意味しないのか？この非対称性が論理的結果に与える影響は何か？
• RQ3 非正規的かつ非分配的ファジィ論理は存在可能か？それらのラティス表現はどのような形をしているか？
• RQ4 強い二重否定（$x = x''$）は、非矛盾的ファジィ論理において排中律を導く役割を果たすのか？
• RQ5 なぜ効果代数や操作的論理のような非ラティス構造は、ラティスに基づくシステムと同じ意味で『論理』と呼ぶべきではないのか？

主な発見

• 弱い二重否定、反対性、およびブール的境界条件を満たす、ファジィ否定の新規な定義が、ファジィ論理、量子論理、パラコンシステント論理、直観的論理、およびブール論理を1つの代数的階層に統合する。
• 反対性条件は選言的ド・モーガン法則と同値であるが、連言的ド・モーガン法則を含意しないことから、両者の間には根本的な非対称性が存在することが明らかになった。
• 例21では、連言的ド・モーガン法則が成立しない非矛盾的論理 $(M_5, eg)$ が提示され、このような論理がこの法則がなくても論理的に整合的であることを示している。
• 例39では、明示的なラティス表現を持つ典型的な非正規的ファジィ論理が構成され、正規的性がファジィ論理の必須条件ではないことを示している。
• 非矛盾的ファジィ論理において、強い二重否定（$x = x''$）は排中律（tertium non datur）を意味する。これはかつて含意的論理にのみ知られていた結果である。
• 本稿では、効果代数や操作的論理のような非ラティス構造は、meetとjoinを欠如させることでド・モーガン法則を表現できず、論理的関係と因果的関係の境界を曇らせるため、『論理』と呼ぶべきではないと主張している。