[論文レビュー] Algebraic higher symmetries and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions

Wenjie Ji, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Atomic and Subatomic Physics Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、対称性の破れとトポロジカルな相転移の両方の臨界点を統一的に記述する枠組みとして、グローバル対称性とその双対となる高次対称性を組み合わせたカテゴリカル対称性を導入する。$n$次元系に有限対称性 $G$ があるとき、その臨界点では双対となる $(n-1)$-対称性が実現され、このカテゴリカル対称性は臨界点においても破れずに保たれ、ギャップを持つ相ではその一部が自発的に破れるが、臨界点では完全に保たれる。

ABSTRACT

For a zero-temperature Landau symmetry breaking transition in $n$-dimensional space that completely breaks a finite symmetry $G$, the critical point at the transition has the symmetry $G$. In this paper, we show that the critical point also has a dual symmetry - a $(n-1)$-symmetry described by a higher group when $G$ is Abelian or an algebraic $(n-1)$-symmetry beyond higher group when $G$ is non-Abelian. In fact, any $G$-symmetric system can be viewed as a boundary of $G$-gauge theory in one higher dimension. The conservation of gauge charge and gauge flux in the bulk $G$-gauge theory gives rise to the symmetry and the dual symmetry respectively. So any $G$-symmetric system actually has a larger symmetry called categorical symmetry, which is a combination of the symmetry and the dual symmetry. However, part (and only part) of the categorical symmetry must be spontaneously broken in any gapped phase of the system, but there exists a gapless state where the categorical symmetry is not spontaneously broken. Such a gapless state corresponds to the usual critical point of Landau symmetry breaking transition. The above results remain valid even if we expand the notion of symmetry to include higher symmetries and algebraic higher symmetries. Thus our result also applies to critical points for transitions between topological phases of matter. In particular, we show that there can be several critical points for the transition from the 3+1D $Z_2$ gauge theory to a trivial phase. The critical point from Higgs condensation has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 0-symmetry and its dual - a $Z_2$ 2-symmetry, while the critical point of the confinement transition has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 1-symmetry and its dual - another $Z_2$ 1-symmetry.

研究の動機と目的

• 有限対称性 $G$ を持つ系のゼロ温度における相転移の臨界点に潜む対称性構造を理解すること。
• 1つ次元が高い空間におけるバルクゲージ理論から生じる双対対称性（特に $(n-1)$-対称性）の役割を特定すること。
• 従来の群や高次群を越えて、非アーベルの場合の代数的高次対称性を含めた対称性の概念を拡張すること。
• ギャップを持つ相ではカテゴリカル対称性の一部が自発的に破れるが、臨界点では完全な対称性が保たれることを確立すること。
• トポロジカルな相の間の相転移（例：$\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論から自明な相への遷移）を含む枠組みの一般化。

提案手法

• $G$ 対称性を持つ $n$ 次元系を、$n+1$ 次元における $G$ ゲージ理論の境界に写像する。
• バルクにおけるゲージ電荷とゲージフラックスの保存則を用いて、元の $G$ 対称性とその双対 $(n-1)$-対称性を導出する。
• 元の対称性と双対対称性を統合したカテゴリカル対称性として形式化し、両者を統一する。
• 自発的対称性の破れのパターンを分析：ギャップを持つ相ではカテゴリカル対称性の一部が破れるが、臨界点では完全な対称性が保たれる。
• 具体的な例（3+1次元の $\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論）にこの枠組みを適用し、ヒッグス遷移とコンfinement遷移を区別する。
• 臨界点のカテゴリカル対称性構造の違いにより区別：ヒッグス遷移では $\mathbb{Z}_2$ 0-対称性とその双対 $\mathbb{Z}_2$ 2-対称性が現れ、コンfinement遷移では2つの $\mathbb{Z}_2$ 1-対称性が共存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 次元系におけるランダウの対称性の破れ相転移の臨界点に潜む隠れた対称性の性質は何か？
• RQ2 1つ次元が高いバルクにおける $G$ ゲージ理論から生じる双対対称性（特に $(n-1)$-対称性）はどのようにして現れるか？
• RQ3 元の対称性と双対対称性が統合されて形成されるカテゴリカル対称性が、臨界点でなぜ破れずに保たれるのか？
• RQ4 この枠組みは、$\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論から自明な相への遷移のようなトポロジカル相の間の遷移にどのように一般化できるか？
• RQ5 ヒッグス凝縮遷移とコンfinement遷移の臨界点は、それぞれのカテゴリカル対称性構造においてどのように区別されるか？

主な発見

• 有限対称性 $G$ を持つ $n$ 次元系におけるランダウの対称性の破れ相転移の臨界点では、双対となる $(n-1)$-対称性が実現され、$G$ がアーベルであれば高次群となり、非アーベルであれば代数的高次対称性となる。
• 元の $G$ 対称性とその双対を統合した完全なカテゴリカル対称性は、臨界点においても破れずに保たれ、ギャップを持つ相ではその一部が自発的に破れる。
• 臨界点はギャップのない状態に対応し、完全なカテゴリカル対称性が保存されるため、臨界性の統一的記述が可能となる。
• 3+1次元の $\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論から自明な相への遷移には、2つの異なる臨界点が存在する：ヒッグス凝縮による遷移では $\mathbb{Z}_2$ 0-対称性とその双対 $\mathbb{Z}_2$ 2-対称性が現れる。
• コンfinement遷移の臨界点では、2つの $\mathbb{Z}_2$ 1-対称性が形成するカテゴリカル対称性が実現され、ヒッグス遷移とは異なる対称性構造を持つことが示される。
• この枠組みは従来の対称性を超えて、代数的高次対称性を含む一般化が可能であり、非アーベルな $G$ を持つすべての $G$ 対称性系にカテゴリカル対称性構造が適用可能であることを示している。