[論文レビュー] Algebraic K-theory and properly infinite C*-algebras

Guillermo Cortiñas⋆, N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト作用素のC*-代数とのテンソル積に関する代数的K理論の結果が、任意の適切に無限大のC*-代数とのテンソル積へ拡張されることを確立している。M2-安定性とO⊗Kへのコーナー埋め込みを用いて、代数的K理論と位相的K理論の間の比較写像が同型であることを証明し、KH理論と循環ホモロジーがこのようなテンソル積に対してボット周期性を満たすことを示している。これはK理論に関する既知の結果をOに一般化したものである。

ABSTRACT

We show that several known results about the algebraic K-theory of tensor products of algebras with the C*-algebra of compact operators in Hilbert space remain valid for tensor products with any properly infinite C*-algebra.

研究の動機と目的

• コンパクト作用素のC*-代数とのテンソル積に関する代数的K理論の既知の結果を、任意の適切に無限大のC*-代数とのテンソル積へ拡張すること。
• AをC*-代数、Oを適切に無限大の代数とするとき、代数的K理論から位相的K理論への比較写像K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)が同型であることを証明すること。
• Lを局所凸代数、Oを適切に無限大の代数とするとき、KH理論と循環ホモロジーがL⊗Oの形をした代数に対してボット周期性を満たすことを確立すること。
• M2-安定関手がO⊗Kに作用する際に、コーナー埋め込みj: O → O⊗KがK理論上で同型を誘導することを示し、K理論に関する安定性結果をKからOへ一般化すること。

提案手法

• 任意のM2-安定関手Eに対して、O内の無限大の等長写像の列を用いてホモトピー同値を構成することで、コーナー埋め込みj: O → O⊗KがE(j)を同型に誘導することを証明する。
• Oが等長写像の列(un)と部分等長写像vを持つことを利用して、写像ψ: O⊗K → O⊗Kを定義し、E(ψ) = idとなるようにする。
• Karoubi-Suslin-Wodzickiの定理（K∗(A⊗K) → Ktop∗(A⊗K)が同型）を用い、同型E(j)を通じてK∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)が同型であることを導出する。
• K理論およびKinf理論における微分同型不変性と除去性を用いて、L⊗OがKinf-正則であることを示し、これによりKH理論におけるボット周期性を導く。
• 零性K理論の長完全系列と同型ν∗: Knil∗(M) → HC∗−1(M)を組み合わせることで、Ktop∗(L⊗O)、K∗(L⊗O)、HC∗(L⊗O)を含む六項完全系列を構成する。
• 同型µ: K⊗K → K(ℓ2×ℓ2)を活用し、KH∗(A⊗O⊗K)がZ[t,t−1]-加群であることを示し、これによりKH∗(A⊗O)におけるボット周期性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OがKに限らない任意の適切に無限大のC*-代数である場合、比較写像K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)は同型のままであるか？
• RQ2 Kから任意の適切に無限大のOへのK∗、Ktop∗、HC∗を関連付ける六項完全系列を拡張できるか？
• RQ3 Kのときと同様に、A⊗OのKH理論がK∗(A⊗O)と周期性をもって同型であるか？
• RQ4 M2-安定性を持つ関手が、任意の適切に無限大のOに対して、コーナー埋め込みj: O → O⊗KがK理論上で同型を誘導するか？
• RQ5 Oが適切に無限大である場合、A⊗OのKinf-正則性は保たれるか？これによりKH理論におけるボット周期性が成立するか？

主な発見

• 任意のC*-代数Aと任意の適切に無限大のC*-代数Oに対して、比較写像K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)は同型である。
• 局所乗法的凸なFréchet代数Lで、一様有界な近似単位元を持つものに対して、写像K∗(L⊗O) → Ktop∗(L⊗O)は同型である。
• 任意の局所凸代数Lと適切に無限大のOに対して、Ktop∗(L⊗O)、K∗(L⊗O)、HC∗(L⊗O)を関連付ける自然な六項完全系列が存在する。
• KHn(A⊗O)はnが偶数のときはK0(A⊗O)と自然に同型であり、nが奇数のときはK−1(A⊗O)と自然に同型である。これによりKH理論におけるボット周期性が確立される。
• 代数A⊗OはKinf-正則であり、n ≤ 0のときKn(A⊗O) → KHn(A⊗O)の写像が同型であることを示唆する。
• KH理論は、K⊗Kのテンソル積構造を通じて得られる同型µにより、Z[t,t−1]-加群と同型であるため、KH∗(A⊗O)はボット周期性を満たす。