[論文レビュー] Algebraic K-theory and trace invariants

Lars Hesselholt|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、混合特徴値 (0,p) のヘンゼルの離散付値環で、完全な残渣体をもつものに対して、代数的K理論からトポロジカル制限ホモロジー（TR）へのサイクロトミックトレース写像が、$ p^v $ を法とする係数をとったとき、同型を与えることを確立する。さらに、係数付きミルナーK理論とユニタリ根の対称代数が、$ K_*(K, \mathbb{Z}/p^v) $ に同型であることを示し、このような体に対してリヒテンバウム＝クイルレン予想を検証する。

ABSTRACT

The cyclotomic trace of Bökstedt-Hsiang-Madsen, the subject of Bökstedt's lecture at the congress in Kyoto, is a map of pro-abelian groups K_*(A) -> TR_*^.(A;p) from Quillen's algebraic K-theory to a topological refinement of Connes' cyclic homology. Over the last decade, our understanding of the target and its relation to K-theory has been significantly advanced. This and possible future development is the topic of my lecture.

研究の動機と目的

• 混合特徴値 (0,p) のヘンゼルの離散付値体における有限係数付き代数的K理論の構造を理解すること。
• サイクロトミックトレース写像を通じて、代数的K理論とトポロジカル制限ホモロジー（TR）の関係を明確にすること。
• トレース不変量を用いて、局所数体および関連する幾何的体に対してリヒテンバウム＝クイルレン予想を検証すること。
• 代数的閉包上のTR群のガロアモジュール構造を記述し、それらをコホモロジカル的降下と関連付けること。
• ミルナーK理論とユニタリ根の対称代数の間の正確な同型を確立すること、$ \mathbb{Z}/p^v $ 係数付きK理論と対応させる。

提案手法

• プロアーベル群を経由する、Frobenius作用素と整合する、$ K_*(A) \to \operatorname{TR}_*^{\cdot}(A;p) $ のサイクロトミックトレース写像を利用する。
• ド・ラーム＝ウィット複体 $ W_\cdot\Omega_A^q $ をTRホモロジーの普遍的モデルとして用い、低次の度数で同型であり、しばしば高次の度数でも同型であることを示す。
• 対数的微分写像 $ K_*^M(K) \to \Omega_{(V,M)}^* $ を、ウィットベクトル構成を用いて精錬し、係数付きK理論を回復する。
• ユニタリ根 $ \zeta \in \mu_{p^v} $ に付随するボット元 $ b_\zeta \in K_2(K, \mathbb{Z}/p^v) $ を用い、$ \mu_{p^v} $ 上の対称代数を構成する。
• $ \operatorname{TR}_*^\cdot(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) $ 上のガロア作用を分析し、Tateモジュールとサイクロトミック特徴標を用いて可除性と構造を示す。
• 完全な $ \mathbb{F}_p $-代数 $ R_{\bar{V}} $ 内の整合するユニタリ根の系列を用いて、$ \theta_n: W(R_{\bar{V}}) \twoheadrightarrow W_n(\bar{V})^\wedge $ が主核を持つ全射であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、サイクロトミックトレース写像 $ K_*(A, \mathbb{Z}/p^v) \to \operatorname{TR}_*^\cdot(A;p, \mathbb{Z}/p^v)^{F=1} $ が同型になるか？
• RQ2 ヘンゼルの局所体 $ K $ に対して、係数付きミルナーK理論とユニタリ根の対称代数が、$ K_*(K, \mathbb{Z}/p^v) $ を再構成できるか？
• RQ3 $ \operatorname{TR}_*^\cdot(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) $ のガロアモジュール構造は何か？ そして、連続コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 体 $ \bar{K} $ における $ V $ の整閉包 $ \bar{V} $ のTR群は、$ V $ のそれらとどのように関係するか？ そしてFrobeniusはどのような役割を果たすか？
• RQ5 残渣体が完全なとき、標準写像 $ \operatorname{TR}_q^\cdot(V|K;p, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) \to \operatorname{TR}_q^\cdot(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{G_K} $ が同型であるか？

主な発見

• 正則な $ \mathbb{F}_p $-代数および分離的閉じた残渣体をもつヘンゼルの離散付値環に対して、サイクロトミックトレースは同型 $ K_*(A, \mathbb{Z}/p^v) \xrightarrow{\sim} \operatorname{TR}_*^\cdot(A;p, \mathbb{Z}/p^v)^{F=1} $ を誘導する。
• $ \mu_{p^v} \subset K $ のとき、標準写像 $ K_*^M(K) \otimes_{\mathbb{Z}} S_{\mathbb{Z}/p^v}(\mu_{p^v}) \xrightarrow{\sim} K_*(K, \mathbb{Z}/p^v) $ は、次数付き環としての同型である。これは $ m = p^v $ のときのベイリンソン＝リヒテンバウム予想を証明する。
• $ \operatorname{TR}_1^n(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Z}_p) $ は、Tateモジュール $ T_p\operatorname{TR}_1^n(\bar{V}|\bar{K};p) $ を持ち、これは $ \operatorname{TR}_0^n(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Z}_p) $ 上のランク1の自由モジュールである。このモジュール上の対称代数は、$ \operatorname{TR}_*^n(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Z}_p) $ を回復する。
• ボット元 $ b_{\epsilon,n} \in T_p\operatorname{TR}_1^n(\bar{V}|\bar{K};p) $ は、$ b_{\epsilon,n} = ([\epsilon_n] - 1) \cdot \alpha_{\epsilon,n} $ を満たし、ここで $ \alpha_{\epsilon,n} $ は標準的生成元である。
• ガロア作用は $ \alpha_{\epsilon,n} $ に対して $ \alpha_{\epsilon,n}^\sigma = \chi(\sigma) \frac{[\epsilon_n] - 1}{[\epsilon_n^\sigma] - 1} \cdot \alpha_{\epsilon,n} $ で与えられ、$ \chi $ はサイクロトミック特徴標である。
• 連続コホモロジー群 $ H_{\text{cont}}^i(G_K, \operatorname{TR}_q^n(\bar{V}|\bar{K};p, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)) $ は $ i \geq 0 $、$ q > 0 $ のとき消える。これはガロア降下に関する予想を支持する。