[論文レビュー] Algebraic K-theory of toric hypersurfaces

Matt Kerr, Charles F. Doran|ArXiv.org|Sep 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、代数的K理論と高次の正規関数を用いて、特にカーバイ-ヤウ多様体であるトーリック超曲面におけるモチビックコhomology類の構成およびレギュレータ周期の計算のためのフレームワークを確立する。3次元多様体の族がローレンツ多項式から生じる場合、その周期行列が有理数をすべての成分に持つことと、族がモジュラーであることとは同値であることを証明し、また、h^{2,1}=1 を満たすアンチカノニカルなトーリック3次元多様体族では、すべてモジュラーでないことが示され、局所ミラー対称性における重要な問題が解決される。

ABSTRACT

We construct classes in the motivic cohomology of certain 1-parameter families of Calabi-Yau hypersurfaces in toric Fano n-folds, with applications to local mirror symmetry (growth of genus 0 instanton numbers) and inhomogeneous Picard-Fuchs equations. In the case where the family is classically modular the classes are related to Belinson's Eisenstein symbol; the Abel-Jacobi map (or rational regulator) is computed in this paper for both kinds of cycles. For the "modular toric" families where the cycles essentially coincide, we obtain a motivic (and computationally effective) explanation of a phenomenon observed by Villegas, Stienstra, and Bertin.

研究の動機と目的

• 代数的K理論とレギュレータ写像を用いて、カーバイ-ヤウ多様体の族におけるモチビックコhomology類を構成すること。
• トーリック超曲面上の正則n形式のレギュレータ周期を計算し、それらを関連するホッジ構造の周期と結びつけること。
• 3次元多様体族の周期行列が有理数をすべての成分に持つ条件を特定し、これがモジュラリティを示すものであることを明らかにすること。
• アンチカノニカルなトーリック超曲面の設定において、カーバイ-ヤウ3次元多様体のモジュラー族が存在するかどうかという問題を解決すること。
• モジュラー形式とベイリンソンの予想の文脈において、トーリックレギュレータ構成とアイゼンスタイン記号を比較すること。

提案手法

• デュイステルマットとヴァン・デル・カレンの完成定理を用いて、トーリック超曲面上のモチビックコhomology類を構成する。
• KLM公式を用いて特異なファイバー上の高次のアーベル・ジャコビ写像およびレギュレータ周期を計算する。
• レギュレータカレントの解析接続を適用し、中心ファイバーの補集合上の正則形式の周期と関連付ける。
• 極限混合ホッジ構造の周期行列を用いて、無理数成分を用いて非モジュラリティを検出する。
• 合同部分群とモジュラー形式の文脈において、トーリック記号とアイゼンスタイン記号を比較する。
• インスタントン補正および非モジュラリティを検出するために、周期行列を用いて前もっての汎関数F(0)を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック超曲面上の正則n形式が、コンパクト化された族においてモチビックコhomology類に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 カーバイ-ヤウ3次元多様体上の正則形式のレギュレータ周期が有理数となるのはいつか？ そしてこれはモジュラリティに何を意味するか？
• RQ3 ローレンツ多項式から生じる1パラメータ族のカーバイ-ヤウ3次元多様体族の周期行列が無理数成分をもつことは可能か？ そしてそれはモジュラリティの欠如を何を示唆するか？
• RQ4 h^{2,1}=1 を満たすアンチカノニカルなトーリック3次元多様体で、モジュラーなものは存在するか？ もし存在しないなら、その理由は何か？
• RQ5 ベイリンソンの予想とモジュラー形式の文脈において、トーリックレギュレータ構成とアイゼンスタイン記号はどのように比較できるか？

主な発見

• 5次鏡像族の周期行列に無理数成分 −200ζ(3)/(2πi)^3 が存在することを示し、これがモジュラーでないことを証明する。
• 5次鏡像族において、周期行列は単位行列とユニモジュラー同値でないことが確認され、非モジュラリティが裏付けられる。
• h^{2,1}=1 を満たすアンチカノニカルなトーリック3次元多様体族では、すべてモジュラーでない。これは周期行列における前もっての汎関数項F(0)の無理数性によって示される。
• φ = x+y+z+w+1/(xyzw) で定義される族は、周期行列が非有理数成分を含むため、モジュラーでない。
• 周期行列に無理数成分がある場合、トーリック記号によるモチビックコhomology類の構成は、モジュラー族を生じさせない。
• モジュラー例の不在は、モジュラー曲線の均一化微分方程式が2階微分方程式の対称的立方体でなければならないという幾何的要請を満たさないためであり、5つのリストアップされた3次元多様体族のいずれに対してもその要件を満たさない。