[論文レビュー] Algebraic Kan extensions in double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、正規の余代数的二重モノイドに対する代数的カーン拡張が、二重圏の代数における忘却函手に沿って持ち上げられる条件を確立する。これは、ゲツラーの対称モノイド的カーン拡張の持ち上げに関する結果を一般化したものである。主な貢献は、二重圏における代数的カーン拡張を用いた統一的枠組みを提供し、構造的条件（例えば、点-wise 左完全性およびコロジットとの適合性）を満たす場合、このような持ち上げが存在することを証明することである。応用例として、コロジットを保存する対称モノイド圏における、余代数的コモニッド上に生成される自由双可換ホイップモノイドの存在が示される。

ABSTRACT

We study Kan extensions in three weakenings of the Eilenberg-Moore double category associated to a double monad, that was introduced by Grandis and Paré. To be precise, given a normal oplax double monad $T$ on a double category $\mathcal K$, we consider the double categories consisting of pseudo $T$-algebras, `weak' vertical $T$-morphisms, horizontal $T$-morphisms and $T$-cells, where `weak' means either `lax', `colax' or `pseudo'. Denoting these double categories by $\mathsf{Alg}_w T$, where w = l, c or ps accordingly, our main result gives, in each of these cases, conditions ensuring that (pointwise) Kan extensions can be lifted along the forgetful double functor $\mathsf{Alg}_w T o \mathcal K$. As an application we recover and generalise a result by Getzler, on the lifting of pointwise left Kan extensions along symmetric monoidal enriched functors. As an application of Getzler's result we prove, in suitable symmetric monoidal categories, the existence of bicommutative Hopf monoids that are freely generated by cocommutative comonoids.

研究の動機と目的

• ゲーツラーの対称モノイド的カーン拡張の持ち上げに関する結果を、二重圏における代数的カーン拡張のより広範な枠組みへ一般化すること。
• 点-wise 左カーン拡張が、弱T代数の二重圏からベースの二重圏Kへの忘却二重函手に沿って持ち上げられる十分条件を確立すること。
• コロジットを備えた対称モノイド圏において、余代数的コモニッド上に生成される自由双可換ホイップモノイドの存在を示すこと。
• 二重圏的構造を通じて、豊密化およびモノイド的文脈におけるカーン拡張の取り扱いを統一すること。

提案手法

• 擬似T代数の二重圏、弱垂直T準同型（ lax, colax, または pseudo ）、および水平T準同型を用いる。
• Algw(T) からKへの忘却二重函手を定義する。ここで、Algw(T) は弱T代数および弱T準同型の二重圏である。
• 2圏における点-wise カーン拡張を一般化した、二重圏における代数的カーン拡張の概念を適用する。
• カーン拡張の持ち上げを検証するための主要な技術的道具として、左ベック＝シェヴァリー条件を用いる。
• 水平準同型のタブレーションおよび制限を用いて、拡張の性質を分析する。
• その理論を、代数が対称モノイド圏である二重モノイドに適用し、ゲーツラーの結果を回復および拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規の余代数的二重モノイドTが二重圏K上で作用するとき、Algw(T) からKへの忘却二重函手に沿って、点-wise 左カーン拡張がいつ持ち上げられるか。
• RQ2 生成対象が余代数的コモニッドである自由双可換ホイップモノイドの存在に、ターゲット圏Mの構造がどのように影響を与えるか。
• RQ3 二重モノイドTの点-wise 左完全性が、カーン拡張の持ち上げを保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 条件(p) — Mが点-wise 左カーン拡張を保存すること — が、colaxの場合に拡張の持ち上げを保証する意味は何か。
• RQ5 主定理の水平双対は、ゲーツラーの対称モノイド的カーン拡張に関する結果をどのように一般化するか。

主な発見

• 主な結果として、colax弱準同型の場合、条件(e) — Jの構造セルの点-wise 左d-完全性 — が、忘却函手による点-wise 左カーン拡張の持ち上げを示す。
• lax弱準同型の場合、条件(p) — Mの代数的構造が点-wise 左カーン拡張を保存すること — が、カーン拡張の持ち上げを示す。
• pseudoの場合、条件(p)、(e)、(l) の任意の2つが残りの1つを含意することから、代数的構造、完全性、および持ち上げの間の整合的で整合性のある関係が示される。
• コロジットを備えた対称モノイド圏Mにおいて、テンソル積が各変数においてコロジットを保存するならば、非偏双可換ホイップモノイドから余代数的コモニッドへの忘却函手は左随伴を持つ。
• この随伴は、主定理を双可換ホイップモノイドのPROP H に適用することにより、余代数的コモニッド上に生成される自由双可換ホイップモノイドの存在を示唆する。
• j: F^op → H の埋め込みにおける左ベック＝シェヴァリー条件の証明は、行列分解を用いて行われ、H の任意の準同型がF^opおよびブロック行列を通じて一意に因数分解可能であることを示している。