[論文レビュー] Algebraic Method in Tilings

Peter Horák, Dongryul Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイリング理論における新しい代数的「多項式法」を導入し、ヒルベルトのノルムシュテインザトの定理を組み合わせることで、クラスタ V の平行移動による ℤⁿ のタイリングの必要条件を確立する。主な結果は、素数 q のサイズを持つクラスタ V が ℤⁿ を生成するならば、V による ℤⁿ のいかなるタイリングも格子タイリングであることを示しており、素数サイズのクラスタによるすべてのタイリングが格子タイリングであるという予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new algebraic method in tilings. Combining this method with Hilbert's Nullstellensatz we obtain a necessary condition for tiling $n$-space by translates of a cluster of cubes. Further, the polynomial method will enable us to show that if there exists a tiling of $n$-space by translates of a cluster $V$ of prime size then there is a lattice tiling by $V$ as well. Finally, we provide supporting evidence for a conjecture that each tiling by translates of a prime size cluster $V$ is lattice if $V$ generates $n$-space.

研究の動機と目的

• ℤⁿ のクラスタ V の平行移動によるタイリングを分析するための新しい代数的手法—「多項式法」—の開発。
• ヒルベルトのノルムシュテインザトの定理を用いて、任意の集合 V による ℤⁿ のタイリングの必要条件を確立すること。
• クラスタ V が素数サイズ q であり、ℤⁿ を生成するならば、V による ℤⁿ のいかなるタイリングも格子タイリングであることを証明すること。
• V が ℤⁿ を生成する場合、素数サイズのクラスタによる ℤⁿ のすべてのタイリングが格子タイリングであるという予想に対する支援的証拠を提供すること。
• 素数サイズの半クロス（n-クロス）によるタイリングの一意性および周期性を調査すること。

提案手法

• タイリング条件を有限体上の多項式方程式系として代数的にモデル化する多項式法を導入。
• ヒルベルトのノルムシュテインザトの定理を適用し、集合 V による ℤⁿ のタイリングの存在に対する必要代数的条件を導出する。
• 群環 ℤ[V] の構造と単位根の性質を用いて、タイリングの対称性および周期性を分析する。
• 素数サイズの V に対して、加法群構造が有限体および巡回群作用の使用を可能にすることを活用する。
• ℤ_q* の原始根を用いて φ: ℤⁿ → ℤ_q を定義し、タイリング格子を φ の核へ写像する。
• φ の核が格子タイリングを形成することを示し、符号語のシフトがタイリング構造を保存することを示し、これにより巡回性および周期性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 V ⊂ ℤⁿ が平行移動によって ℤⁿ をタイリングするための代数的条件は何か？
• RQ2 多項式法を用いて、素数サイズのクラスタ V による ℤⁿ のすべてのタイリングが格子タイリングであることを証明できるか？
• RQ3 サイズ 2n+1 の素数である半クロスによる ℤⁿ のタイリングは、合同変換を除いて一意的か？
• RQ4 巡回的（シフトに関して閉じている）性質が、素数サイズのクラスタによるタイリングを特徴づけるか？
• RQ5 多項式法を非素数サイズのクラスタによるタイリングの周期性の証明に拡張できるか？

主な発見

• 任意の素数サイズ q の集合 V ⊂ ℤⁿ について、V が ℤⁿ をタイリングするならば、任意の v,w ∈ V に対して周期 q(v−w) の周期的タイリングである。
• クラスタ V が素数サイズ q であり、ℤⁿ を生成するならば、V による ℤⁿ のいかなるタイリングも必然的に格子タイリングである。
• サイズ 2n+1 が素数である場合、半クロスによる ℤⁿ のタイリングは、合同変換を除いて一意的である。これは n=2,3,5 で確認された。
• q ≤ 7 に対して、任意の ℤ^{q−1} におけるサイズ q の半クロスによるタイリングは、合同変換を除いて一意的であり、格子タイリングである。
• 任意の奇素数 q に対して、サイズ q の半クロスによる ℤ^{q−1} の巡回タイリングが存在し、原始根 t を用いたホモモーフィズムにより構成される。
• 原始根 t によって定義されるホモモーフィズム φ: ℤ^{q−1} → ℤ_q の核は、巡回シフトに関して閉じた格子タイリングを生成する。