[論文レビュー] Algebraic models of the Euclidean plane

Jérémy Blanc, Adrien Dubouloz|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、滑らかな実代数的表面を双有理微分同相の下で区別する新しい双有理不変量である実対数的コイダラ次元を導入する。有理的実代数的表面の無限族を構成し、それらが有理的ホモロジーが自明で、実点集合がR²に微分同相であることを示すことにより、ユークリッド平面の非双有理微分同相なモデルが無限に存在することを証明した。これはコンパクトな場合とは対照的であり、コイダラ次元0、1、2のフェイク実平面に関する重要な問いに答えている。

ABSTRACT

We introduce a new invariant, the real (logarithmic)-Kodaira dimension, that allows to distinguish smooth real algebraic surfaces up to birational diffeomorphism. As an application, we construct infinite families of smooth rational real algebraic surfaces with trivial homology groups, whose real loci are diffeomorphic to $\mathbb{R}^2$, but which are pairwise not birationally diffeomorphic. There are thus infinitely many non-trivial models of the euclidean plane, contrary to the compact case.

研究の動機と目的

• ユークリッド平面R²の非双有理微分同相な実代数的モデルが無限に存在するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 双有理微分同相写像の下で不変であることを定義し、証明する実対数的コイダラ次元を導入すること。これは古典的コイダラ次元には欠けている性質である。
• 各コイダラ次元κ = 0, 1, 2に対して、有理的ホモロジーが自明で、実点集合がR²に微分同相である、有理的実代数的表面の明示的族を構成すること。
• κ = 1および2の場合に、そのようなモデルが位相的に収縮可能な複素化を持つことができることを示し、最小性の概念を強化すること。
• 一般型のフェイク実平面で非自明な実形式を持つものについて分類し、複素化が同型であっても実同型でないことが保たれることを示すこと。

提案手法

• 滑らかな特異点付き境界を持つ滑らかな射影的完備化の正則リーマン連鎖を用いて、滑らかなアフィン実代数的表面Sの実対数的コイダラ次元κR(S)を定義する。
• 実双有理写像の下での正則リーマン連鎖の挙動を分析することにより、古典的コイダラ次元とは異なり、κR(S)が双有理微分同相写像の下で不変であることを証明する。
• 実点における繰り返し実ブローモーを用いて、表面Si = Vi \\(Γi ∪ Tp0(Γi) ∪ ⋃ Ej)を構成し、境界曲線Γiおよびその接線の総被覆の制御を図る。
• 係数関係を制御可能にするために、4b − a = ±1という条件を用いる。これにより、正則リーマン連鎖およびしたがってコイダラ次元の制御が可能になる。
• 写像θ: [x:y:z] ↦ [x+iy:x−iy:z/2]を用いて、S1およびS2の複素化が同型であることを示す。しかし、それらの実構造は非同型である。
• Q-アサイクル表面および収縮可能な複素化に関する既知の結果を応用し、構成された表面が有理的ホモロジーが自明なフェイク実平面であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的で有理的ホモロジーが自明であり、S(R) ≅ R²を満たすが、A²_Rと双有理微分同相でないような実代数的表面Sが無限に存在するか？
• RQ2 実対数的コイダラ次元は、複素数体上で双有理同倣であるが実数体上でそうでない実代数的表面を区別できるか？
• RQ3 コイダラ次元1または2のフェイク実平面で、位相的に収縮可能な複素化を持つものがあるか？
• RQ4 一般型フェイク実平面の実形式は、複素化が同型である場合に、双有理微分同相写像の下でどのように振る舞うか？特に、複素化が同型であっても実同型でない場合を含む。
• RQ5 古典的コイダラ次元と類似した方法で実コイダラ次元を計算可能か？また、自然な幾何的条件下で、古典的値を回復するか？

主な発見

• 実対数的コイダラ次元κR(S)は双有理微分同相写像の下で不変であり、これにより実代数的表面をこの同値関係の下で区別するための新しい道具が得られた。
• 任意のκ ∈ {0,1,2}に対して、有理的ホモロジーが自明で、S(R) ≅ R²を満たす滑らかな有理的実代数的表面Sの無限族が存在し、それらは互いに双有理微分同相でない。
• κ = 1および2の場合、構成された表面は、その複素化SCが位相的に収縮可能となるように選べる。これは強い最小性条件を満たす。
• コイダラ次元0のフェイク実平面S1はκR(S1) = −∞であり、A²_Rと双有理微分同相である。一方、コイダラ次元2のS2はκR(S2) = 2であり、A²_Rと双有理微分同相でない。
• S1およびS2の複素化は写像θにより同型であるが、それらの実構造は非同型である。これは、複素化が同型であっても、実形式がエキゾチックになり得ることを示している。
• 係数条件4b − a = ±1を満たす繰り返し実ブローモーによる表面の構成により、正則リーマン連鎖およびしたがって実コイダラ次元に対する精密な制御が可能になった。