[論文レビュー] Algebraic Multigrid Methods

Jinchao Xu, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 100被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スムージング作用素とシステム行列に関連する行列のトレース最小化により最適な粗スムージング空間を導出することによって、代数的多重グリッド（AMG）法の統一的理論的枠組みを提示する。弱い仮定の下で二レベルAMGの一様収束性を証明し、多数の既存AMG法がこの最適な粗スムージング空間を近似していることを示し、古典的AMG、集約ベースAMG、エネルギー最小化AMGのアプローチを一つの抽象的多重グリッド理論に統一する。

ABSTRACT

This paper is to give an overview of AMG methods for solving large scale systems of equations such as those from the discretization of partial differential equations. AMG is often understood as the acronym of "Algebraic Multi-Grid", but it can also be understood as "Abstract Muti-Grid". Indeed, as it demonstrates in this paper, how and why an algebraic multigrid method can be better understood in a more abstract level. In the literature, there are a variety of different algebraic multigrid methods that have been developed from different perspectives. In this paper, we try to develop a unified framework and theory that can be used to derive and analyze different algebraic multigrid methods in a coherent manner. Given a smoother $R$ for a matrix $A$, such as Gauss-Seidel or Jacobi, we prove that the optimal coarse space of dimension $n_c$ is the span of the eigen-vectors corresponding to the first $n_c$ eigenvalues of $\bar RA$ (with $\bar R=R+R^T-R^TAR$). We also prove that this optimal coarse space can be obtained by a constrained trace-minimization problem for a matrix associated with $\bar RA$ and demonstrate that coarse spaces of most of existing AMG methods can be viewed some approximate solution of this trace-minimization problem. Furthermore, we provide a general approach to the construction of a quasi-optimal coarse space and we prove that under appropriate assumptions the resulting two-level AMG method for the underlying linear system converges uniformly with respect to the size of the problem, the coefficient variation, and the anisotropy. Our theory applies to most existing multigrid methods, including the standard geometric multigrid method, the classic AMG, energy-minimization AMG, unsmoothed and smoothed aggregation AMG, and spectral AMGe.

研究の動機と目的

• 多様な代数的多重グリッド法を一つの抽象的多重グリッド理論に統合する整合的な理論的枠組みを構築すること。
• 与えられたスムージング作用素に対して最適な粗スムージング空間を、導出された行列 $ar{R}A$ の最小固有値に対応する固有ベクトルの張る空間として特定すること。
• 多数の既存AMG法が、最適な粗スムージング空間を定義する制約付きトレース最小化問題の近似解として解釈できることを示すこと。
• 適切な仮定の下で、問題サイズ、係数の変動、および異方性に対して一様収束する二レベルAMGの理論的保証を確立すること。
• 偏微分方程式の離散化から生じる広範な線形システムのクラスに適用可能な準最適な粗スムージング空間の一般構成法を提供すること。

提案手法

• スムージング作用素 $R$（例えば Gauss-Seidel や Jacobi）に対し、$ar{R}A$ の最初の $n_c$ 個の固有ベクトルの張る空間として最適な粗スムージング空間を導出する。ここで $ar{R} = R + R^T - R^T A R$ である。
• 最適な粗スムージング空間を、行列 $ar{R}A$ を含む制約付きトレース最小化問題の解として定式化する。
• 古典的AMG、スムージング集約、エネルギー最小化AMGが、このトレース最小化問題の近似解として解釈できることを示す。
• トレース最小化フレームワークに基づき、一般に適用可能な準最適な粗スムージング空間の構成法を提案する。
• スムージング作用素および粗スムージング空間の品質に関する仮定の下で、二レベルAMGの収束理論を確立し、問題サイズおよび係数変動に対して一様収束することを証明する。
• 抽象的枠組みを幾何的多重グリッド、古典的AMG、スムージング集約、スペクトルAMGeに適用し、それらの理論的関連性を統一的に分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたスムージング作用素に対して、代数的多重グリッド法における最適な粗スムージング空間は何か？
• RQ2 最適な粗スムージング空間は数学的にどのように特徴付けられ、システム行列およびスムージング作用素とどのような関係にあるか？
• RQ3 正確な最適な粗スムージング空間を使用しないにもかかわらず、多数の既存AMG法が良好に機能する理由は何か？
• RQ4 多様なAMG法を分析・比較するための統一的理論的枠組みを構築できるか？
• RQ5 二レベルAMG法が、問題サイズおよび係数変動に関して一様収束するための条件は何か？

主な発見

• 次元 $n_c$ の最適な粗スムージング空間は、$ar{R}A$ の $n_c$ 個の最小固有値に対応する固有ベクトルの張る空間である。ここで $ar{R} = R + R^T - R^T A R$ である。
• この最適な粗スムージング空間は、行列 $ar{R}A$ を含む制約付きトレース最小化問題の解と等価である。
• 古典的AMG、スムージング集約、エネルギー最小化AMGを含む多数の既存AMG法は、このトレース最小化問題の近似解として解釈できる。
• 適切な仮定の下で、二レベルAMG法の収束の一様性を保証する準最適な粗スムージング空間の一般構成法が提案された。
• 準最適な粗スムージング空間を用いて構築された二レベルAMG法は、問題サイズ、係数変動、および異方性に関して一様に収束する。
• 抽象的多重グリッド枠組みは、幾何的多重グリッド、古典的AMG、スムージング集約、スペクトルAMGeを統一的に扱い、それらの理論的基盤を提供する。