[論文レビュー] Algebraic number fields generated by Frobenius-Perron dimensions in fusion rings

Terry Gannon, Andrew Schopieray|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、融合環が初等アーベル2群による次元的次数付けを許容することを確立し、モジュラーテンソルカテゴリの乗法的中心的荷重に対する境界を導出し、フォビニウス＝ペルン次元によって生成される代数的数体に関連するガロア不変部分群を導入する。主な結果として、中心的荷重の位数は、フォビニウス＝ペルン次元によって生成される体のガロア群の指数によって制約され、これは以前の結果を任意の数体に一般化するものである。

ABSTRACT

From a unifying lemma concerning fusion rings, we prove a collection of number-theoretic results about fusion, braided, and modular tensor categories. First, we prove that every fusion ring has a dimensional grading by an elementary abelian 2-group. As a result, we bound the order of the multiplicative central charge of arbitrary modular tensor categories. We also introduce Galois-invariant subgroups of the Witt group of nondegenerately braided fusion categories corresponding to algebraic number fields generated by Frobenius-Perron dimensions. Lastly, we provide a complete description of the fields generated by the Frobenius-Perron dimensions of simple objects in $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$, the modular tensor categories arising from the representation theory of quantum groups at roots of unity, as well as the fields generated by their Verlinde eigenvalues.

研究の動機と目的

• 融合環におけるフォビニウス＝ペルン次元によって生成される代数的数体の理解と、それらがテンソルカテゴリに与える影響を明らかにすること。
• FP次元に関する新しい補題を用いて、弱積分的ケースに限らない融合環の次元的次数付けを一般化すること。
• ガロア群の指数に基づいて、モジュラーテンソルカテゴリにおける乗法的中心的荷重の位数を制約すること。
• FP次元から生成される代数的数体に関連するウィット群のガロア不変部分群を定義し、それらを研究すること。
• 量子群カテゴリ $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ におけるFP次元とベルリンデ固有値によって生成される体を完全に記述すること。

提案手法

• 融合環内の非負整数係数組み合わせに対して $\mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_1)), \mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_2)) \subseteq \mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_1 + x_2))$ を保証する包括的補題を活用する。
• この補題を用いて、融合環が $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_1 / \mathbb{K}_0)$ に同型な初等アーベル2群によって忠実に次数付けられることを証明する。
• ガロア理論的技法を用いて、モジュラーテンソルカテゴリにおける乗法的中心的荷重 $\xi(\mathcal{C})$ の位数を、$\mathrm{Gal}(\mathbb{L}_{\mathbbm{1}} / \mathbb{Q})$ の指数に基づいて制約する。ここで $\mathbb{L}_{\mathbbm{1}}$ は単純対象の次元によって生成される体である。
• すべてのウィット同値な非退化的braidedカテゴリについての $\mathbb{K}_0$ の共通部分集合として新しい不変量 $\Phi([\mathcal{C}])$ を定義し、$\mathcal{W}_{\mathbb{K}}$ がウィット群のガロア不変部分群であることを証明する。
• $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ に対して $\mathbb{K}_0, \mathbb{K}_1$ を計算し、$\mathbb{K}_0 = \mathbb{Q}_n$（ある $n$ に対して）であり、擬ユニタリの場合には $\mathbb{K}_1 = \mathbb{K}_0$ であることを示す。
• オイラーのトーティエント関数に関する数論的制約を用いて、$\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ の $\mathbb{Q}_n$-拡張における特定のガロア群の指数が実現不可能であることを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の融合環は初等アーベル2群による次元的次数付けを許容するか？ また、これは弱積分的融合環に関する以前の結果をどのように精緻化するか？
• RQ2 フォビニウス＝ペルン次元によって生成される体のガロア群を用いて、モジュラーテンソルカテゴリにおける乗法的中心的荷重 $\xi(\mathcal{C})$ の位数を制約できるか？
• RQ3 任意の代数的数体 $\mathbb{K}$ に対して、$\Phi([\mathcal{C}]) \subset \mathbb{K}$ を満たすウィット類 $[\mathcal{C}]$ の集合 $\mathcal{W}_{\mathbb{K}} \subset \mathcal{W}$ は、ウィット群 $\mathcal{W}$ のガロア不変部分群であるか？
• RQ4 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ におけるフォビニウス＝ペルン次元によって生成される正確な体 $\mathbb{K}_0$ と $\mathbb{K}_1$ は何か？ それらは円分体とどのように関係するか？
• RQ5 どの素数べき $N = p^b$ に対して、ガロア群の指数が $N$ であるようなモジュラーテンソルカテゴリ $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ が存在するか？

主な発見

• 任意の融合環は、$\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_1 / \mathbb{K}_0)$ に同型な初等アーベル2群によって忠実に次数付け可能であり、これは弱積分的融合環に関する以前の結果を一般化する。
• モジュラーテンソルカテゴリの乗法的中心的荷重 $\xi(\mathcal{C})$ は単位根であり、その位数は $f(2N)/3$ を割り切る。ここで $N$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{L}_{\mathbbm{1}} / \mathbb{Q})$ の指数である。
• 擬ユニタリカテゴリでは、中心的荷重の位数は $2f(2N)/3$ を割り切り、$N$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_0 / \mathbb{Q})$ の指数である。これは、以前の結果を任意の数体にまで拡張する。
• $\mathcal{W}_{\mathbb{K}} = \{[\mathcal{C}] \in \mathcal{W} : \Phi([\mathcal{C}]) \subset \mathbb{K}\}$ は、任意の代数的数体 $\mathbb{K}$ に対してウィット群 $\mathcal{W}$ のガロア不変部分群である。
• $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ に対して、フォビニウス＝ペルン次元によって生成される体 $\mathbb{K}_0$ は、ある $n$ に対して $\mathbb{Q}_n$ であり、擬ユニタリの場合には $\mathbb{K}_1 = \mathbb{K}_0$ である。
• $2p^a + 1$ が任意の $1 \leq a \leq b$ に対して素数でない限り、$\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ はガロア群の指数 $N = p^b$ を持たない。これは、実現可能性に強い数論的制約を示している。