[論文レビュー] Algebraic points on meromorphic curves

Mathilde Herblot|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Meromorphic and Entire Functions参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アラケロフ幾何と勾配の枠組みを用いて、複素数体またはp進体上のメラモーフィック曲線への古典的シュナイダー＝ラング定理の一般化を試みる。形式的部分スキーム上の代数的点の有限性条件を確立し、その部分スキームが一様に有限位数かつ$\alpha$-算術的条件を満たすならば、次数と成長位数に関する重要な不等式が成立しなければならないことを示し、古典的結果を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

The classic Schneider-Lang theorem in transcendence theory asserts that there are only finitely many points at which algebraically independent complex meromorphic functions of finite order of growth can simultaneously take values in a number field, when satisfying a polynomial differential equation with coefficients in this given number field. In this article, we are interested in generalizing this theorem in two directions. First, instead of considering meromorphic functions on C we consider holomorphic maps on an affine curve over the field C or C_p. This extends a statement of D. Bertrand, which applies to meromorphic functions on P^1(C) or P^1(C_p) minus a finite subset of points. Secondly, we deal with algebraic values taken by the functions, instead of rational values as in the classic setting, inspired by a work of D. Bertrand. We prove a geometric statement extending those two results, using the slopes method, written in the language of Arakelov geometry. In the complex case, we recover a special case of a result by C. Gasbarri.

研究の動機と目的

• 複素数体$\mathbf{C}$上のメラモーフィック関数から、複素数体または$p$進数体$\mathbf{C}_p$上のアフィン曲線への正則写像へ、古典的シュナイダー＝ラング定理を拡張すること。
• ベルトランの代数的点に関する研究にインspiredされ、有理数値から代数的値への設定の一般化を図ること。
• アラケロフ幾何を用いて微分代数的条件と成長条件を統一し、$\alpha$-算術的形式的部分スキームの概念を導入すること。
• 一様化と$\alpha$-算術的条件の下で、形式的部分スキーム上の代数的点の有限性結果を確立すること。
• ガスバリおよびベルトランの定理を含む既知の結果を、一つの幾何的枠組みで回復・一般化すること。

提案手法

• アラケロフ幾何を用いて、評価準同型の高さの有界性により$\alpha$-算術的形式的部分スキームを定義する。
• ある場所における$\rho$位の一様化の概念を導入し、複素数体上の有限位数のメラモーフィック関数の一般化を行う。
• アラケロフ幾何における勾配法を用いて、切断の成長を制御し、不等式を導出する。
• 幾何的ヒルベルト＝サミュエル理論を用いて、層コホホロジー群のランクを推定し、漸近的境界を得る。
• 点の次数に逆比例する速度を持つ重み付き微分戦略を用い、最終的な不等式を最適化する。
• 切断数の漸近的解析と背理法により、重要な不等式$\sum_{j=1}^{m} \frac{1}{\alpha_j d_j} \leq \frac{r}{r-1}\rho$を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数体上の射影的多様体上の1次元形式的部分スキームが、一様に有限位数かつ$\alpha$-算術的であるとき、代数的点が有限個であるための条件は何か？
• RQ2 アラケロフ幾何を用いて、古典的シュナイダー＝ラング定理を代数的値および高次元多様体へどのように一般化できるか？
• RQ3 $\alpha$-算術的条件が形式的部分スキーム上の代数的点の密度をどのように制御するか、その正確な役割は何か？
• RQ4 一様化の位数$\rho$は、メラモーフィック関数の古典的有限成長位数の概念とどのように関係するか？
• RQ5 次数、成長位数、$\alpha$パrameterを含む不等式によって、有限性条件を定量的に記述できるか？

主な発見

• 主結果は、形式的部分スキームの合併のザリスキ閉包の次元が$r>1$であるならば、$\sum_{j=1}^{m} \frac{1}{\alpha_j d_j} \leq \frac{r}{r-1}\rho$が成立しなければならないことである。
• ザリスキ閉包の次元が$r=1$であるならば、すべての形式的部分スキームは代数的であるため、代数的点の集合は曲線上でザリスキ的に稠密である。
• この不等式は、その意味で鋭いものであり、$X = \mathbf{P}^n(\mathbf{C})$かつ$f_i$が成長位数$\leq \rho$のメラモーフィック関数である場合、定理はベルトランによるシュナイダー＝ラング定理の一般化に還元される。
• 証明は、切断数の漸近的推定に基づく背理法であり、$A/B > n$を仮定すると、$S_D(\beta) \leq CD^{n+1}$の成長境界と矛盾することを示す。
• 微分速度の最適選択$\beta_j = \frac{1}{\overline{\alpha_j} d_j \sum_i \frac{1}{\overline{\alpha_i} d_i}}$が、不等式内の最大項を最小化する。
• この結果は、不等式が自明でなくなるためには$\rho \neq 0$であることが必要であり、$\lambda \to \frac{1}{\rho}$とすると、最終的な不等式$\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{\alpha_i d_i} \leq \frac{r}{r-1}\rho$が得られる。