[論文レビュー] Algebraic Presentations of Dependent Type Theories

Valery Isaev|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、型理論の構成的で構造的な定義を可能にする、本質的に代数的理論としての代数的依存型理論を導入する。これは、このような理論の圏を通じて、合成可能で構造的な型理論の定義を可能にする。また、これらの理論のモデルが追加構造を備えた文脈的圏に対応することを確立し、ユニバースや同一性型といった構成が、圏論的余極限と関手を介して体系的に組み合わせ・分析できることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we propose an abstract definition of dependent type theories as essentially algebraic theories. One of the main advantages of this definition is its composability: simple theories can be combined into more complex ones, and different properties of the resulting theory may be deduced from properties of the basic ones. We define a category of algebraic dependent type theories which allows us not only to combine theories but also to consider equivalences between them. We also study models of such theories and show that one can think of them as contextual categories with additional structure.

研究の動機と目的

• 既存の変種を包含する一般で抽象的な型理論の定義を提供し、合成的推論を可能にする。
• 従来の型理論定義における合成性の欠如、すなわち Π、Σ、Id 型といった構成が独立に組み合わせられない問題を解決する。
• 応用における引数の省略や、型付き vs. 無型付き等価といった文法的曖昧性を、コアな構造的性質とは分離することで解消する。
• 圏論的同型とモリタ同値を用いて型理論間の同値性を形式化し、理論間で性質を移転可能にする。
• 任意の理論のすべての演算を閉じたユニバース階層を構成する関手 U を定義し、U^ω(𝕋) を極限構成によって得る。

提案手法

• 部分ホルン理論の圏を定義し、演算と推論規則を備えた型理論の構文を形式化する。
• これらの理論のモデルを追加構造を備えた文脈的圏として表現し、初期理論のモデルが正確に文脈的圏であることを示す。
• 代数的依存型理論を、置換が演算と可換である前安定および安定理論として導入し、スライス構成を可能にする。
• 代数的依存型理論の圏上で、元の理論のすべての関数記号を閉じたユニバースを追加する関手 U を構成する。
• 𝕋 を U（ユニバース）、El（属する関係）、σ^U（ユニバース閉演算）という新しい記号で拡張して U(𝕋) を定義し、正しい型付けと振る舞いを保証する公理を導入する。
• 余極限を用いて、列 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... の極限として U^ω(𝕋) を定義し、元の理論のすべての演算を閉じた累積的ユニバース階層を持つ理論を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Σ、Π、Id 型といった基本的構成を組み合わせてより複雑な理論を構成できる、一般で合成可能なフレームワークを構築することは可能か？
• RQ2 応用における引数の省略や、型付き vs. 無型付き等価といった文法的変種を、本質的な型理論的性質を保ちつつ抽象化できるか？
• RQ3 例えば射影 vs. 消去子によるΣ型の異なる定義は、構造的で圏論的な意味で同値であるか？
• RQ4 代数的依存型理論のモデルは体系的に特徴付けられるか？また、それらは自然に追加構造を備えた文脈的圏に対応するか？
• RQ5 ユニバースは型理論において果たす役割は何か？また、すべての演算を閉じたユニバース階層を、一様で圏論的な方法で構成できるか？

主な発見

• 代数的依存型理論の圏は余極限を備えており、T_Σ ⊔ T_Π ⊔ T_Id のように、Σ、Π、Id 型を備えた理論を、より単純な理論の非交差和として構成可能である。
• 初期代数的依存型理論のモデルは正確に文脈的圏であり、代数的構文と圏論的意味論の間の基礎的リンクを確立する。
• 任意の代数的依存型理論のモデルは、理論の演算と公理によって定まる追加構造を備えた文脈的圏である。
• 関手 U は任意の代数的依存型理論 𝕋 を、𝕋 のすべての関数記号を閉じたユニバースを備えた理論 U(𝕋) に写像し、型付けと操作的振るまいを保存する。
• 列 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... の極限として得られる U^ω(𝕋) は、元の理論のすべての演算を閉じた累積的ユニバース階層を持つ理論をもたらす。
• 代数的アプローチにより、同型とモリタ同値を用いた理論間の形式的同値性が可能となり、U(𝕋) は 𝕋 をユニバース閉理論に埋め込む標準的な方法を提供する。