[論文レビュー] Algebraic Principles of Quantum Field Theory II: Quantum Coordinates and WDVV Equation

Jae-Suk Park|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限な超選択状態をもつ異常なしバタリン＝ヴィルコビッチ量子場理論（BV QFT）のモジュライ空間が、量子座標を介して自然にF多様体構造をもつことを確立する。量子座標は、すべての量子相関関数を符号化する。主な結果は、非退化なQFT積分が半古典的解が存在する条件下でWDVV方程式を導くことであり、これにより形式的フォーブルス多様体構造が得られる。

ABSTRACT

This paper is about algebro-geometrical structures on a moduli space $\CM$ of anomaly-free BV QFTs with finite number of inequivalent observables or in a finite superselection sector. We show that $\CM$ has the structure of F-manifold -- a linear pencil of torsion-free flat connection with unity on the tangent space, in quantum coordinates. We study the notion of quantum coordinates for the family of QFTs, which determines the connection 1-form as well as every quantum correlation function of the family in terms of the 1-point functions of the initial theory. We then define free energy for an unital BV QFT and show that it is another avatar of morphism of QFT algebra. These results are consequences of the solvability of refined quantum master equation of the theory. We also introduce the notion of a QFT integral and study some properties of BV QFT equipped with a QFT integral. We show that BV QFT with a non-degenerate QFT integral leads to the WDVV equation---the formal Frobenius manifold structure on $\CM$---if it admits a semi-classical solution of quantum master equation.

研究の動機と目的

• 異常なしBV QFTのモジュライ空間Mの代数的幾何的構造を確立すること。
• 初期理論の1点関数からすべての量子相関関数を決定する量子座標を定義すること。
• QFT積分の概念を導入し、Mの代数的構造に与える影響を検討すること。
• 非退化なQFT積分が半古典的条件下でWDVV方程式を導くことを示すこと。
• 今後の研究における高階構造、例えばホモトピー準同型および経路積分の基礎を築くこと。

提案手法

• 量子座標T^γをt_Hおよびℏ^(-1)に関する形式的べき級数として導入し、3階テンソルA_αβ^γを符号化する。
• 洗練された量子マスター方程式を用いて、反復的対称性、結合性、単位元、同次性を満たす3階テンソルA_αβ^γを導出する。
• QFT積分をBV QFTに追加のデータとして定義し、フォーブルス多様体構造の構成を可能にする。
• 量子マスター方程式の半古典的極限を適用し、QFT積分からWDVV方程式を導出する。
• t_H^nを法とするコホモロジー的技法とMC方程式を用いて、障害類の消滅を証明する。
• ヤコビ恒等式とQ微分を用いて、量子マスター方程式の解の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子座標はどのようにBV QFTのモジュライ空間をパrametrizeし、すべての量子相関関数を符号化するか？
• RQ2 QFT積分が存在するとき、モジュライ空間Mにどのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 非退化なQFT積分がどのような条件下でWDVV方程式を導くか？
• RQ4 洗練された量子マスター方程式は、QFT族全体における量子相関関数の構造をどのように支配するか？
• RQ5 半古典的解は、Mにフォーブルス多様体構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 異常なしBV QFTのモジュライ空間Mは、量子座標を介してF多様体構造をもつ。
• 洗練された量子マスター方程式から導かれる3階テンソルA_αβ^γは、家族全体のn点量子相関関数をすべて符号化する。
• 非退化なQFT積分が存在するとき、量子マスター方程式の半古典的解が存在する限り、M上でWDVV方程式が成立する。
• F多様体構造は、A_αβ^γの反復的対称性、結合性、単位元、同次性から生じる。
• 量子座標T^γは、t_Hおよびℏ^(-1)に関する形式的べき級数であり、その係数は3階テンソルA_αβ^γによって決定される。
• 障害類C^γがt_H^mを法として消えることは、帰納法とコホモロジー的技法を用いて証明され、量子マスター方程式の解の整合性が保証される。