[論文レビュー] Algebraic Problems in Structural Equation Modeling

Mathias Drton|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフ理論的および代数的道具を用いて線形構造方程式モデル（SEM）を分析する代数的枠組みを提示する。トレク分離およびグラフ分解を通じて、共分散構造、パラメータ同定可能性、および暗黙の多項式制約（特にヴェルマ型関係）の間の関係を確立し、ガウス型SEMにおける代数的制約を体系的に特徴付ける手法を提供する。

ABSTRACT

The paper gives an overview of recent advances in structural equation modeling. A structural equation model is a multivariate statistical model that is determined by a mixed graph, also known as a path diagram. Our focus is on the covariance matrices of linear structural equation models. In the linear case, each covariance is a rational function of parameters that are associated to the edges and nodes of the graph. We statistically motivate algebraic problems concerning the rational map that parametrizes the covariance matrix. We review combinatorial tools such as the trek rule, projection to ancestral sets, and a graph decomposition due to Jin Tian. Building on these tools, we discuss advances in parameter identification, i.e., the study of (generic) injectivity of the parametrization, and explain recent results on determinantal relations among the covariances. The paper is based on lectures given at the 8th Mathematical Society of Japan Seasonal Institute.

研究の動機と目的

• 線形SEMにおける統計的課題を、有理写像と多項式制約を含む代数的問題として定式化すること。
• 代数幾何学およびグラフ理論的道具を用いて、特に観察されない交絡要因が存在する場合のモデルパラメータの同定可能性を調査すること。
• 行列式条件を超えて、共分散間の暗黙の代数的関係（例：ヴェルマ制約）を特徴付けること。
• 祖先集合の射影を用いたグラフ分解を通じて、再帰的アルゴリズムを用いて代数的制約を発見する方法を開発すること。
• トレク則、グレブナー基底、および条件付き独立性といった道具を用いて、ガウス型SEMにおける共分散構造の理解を拡張すること。

提案手法

• 直接的な因果効果を示す有向辺と、観察されない交絡要因を示す双方向辺を含む混合グラフ（経路図）を用いて構造方程式を表現する。
• トレク則を適用して、ノード対間の共分散を有向パス（トレク）の和として表現し、共分散行列の代数的パラメータ化を可能にする。
• 祖先集合を用いたグラフ分解および射影写像を用いて、複雑なモデルを単純化された部分グラフに還元し、制約の解析を容易にする。
• トレク分離を用いて、共分散行列の部分行列の行列式が消える条件を特徴付ける。これにより、共分散行列における条件付き独立性の組合せ的基準が得られる。
• グレブナー基底の計算を用いて、共分散行列における暗黙の多項式関係（例：ヴェルマ制約）を導出する。特に、トレク分離を満たさない構造において有効である。
• 観察されない交絡要因が共分散行列に有理関数をもたらすという事実を活用し、分母を払うことで多項式制約が得られることを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形SEMのパラメータ化が一般に単射である、すなわちパラメータが共分散行列から同定可能となる条件は何か？
• RQ2 条件付き独立性が示唆するものとは別に、共分散行列が満たすべき代数的制約（多項式関係）は何か？
• RQ3 グラフ分解および祖先集合の射影を用いて、SEMにおける新しい代数的制約を体系的に導出する方法は何か？
• RQ4 トレク分離は、共分散行列の部分行列の行列式が消える条件をどのように特徴付けるか？
• RQ5 ヴェルマ型制約は混合グラフの構造からどのように生じるのか？また、共分散のパラメータ化におけるその代数的起源は何か？

主な発見

• 線形SEMの共分散行列は、エッジおよびノードパラメータの有理関数であり、その構造は混合グラフのトポロジーによって完全に決定される。
• ヴェルマ制約（例：多項式 $ f_{\text{Verma}} = \tau_{\text{sub}}(\text{covariance}) $）は、分解後の部分グラフにトレクが存在しないことから生じ、有理パラメータ化における分母を払うことでその消滅が説明できる。
• トレク分離は、共分散行列の部分行列の行列式が消える条件を特徴付ける組合せ的基準を提供し、ガウス型モデルにおけるd分離を一般化する。
• 暗黙の多項式制約のイデアル $ \fancyscript{I}(G) $ はグレブナー基底を用いて計算可能であり、一部のケースではd分離関係とヴェルマ型多項式によって生成される。
• グラフがトレク分離同値でない場合でも、再帰的分解および祖先射影を用いることで、隠れた代数的制約を明らかにでき、特にシンクノードを追加したヴェルマグラフにおいてその有効性が示された。
• 本稿は、代数的制約（例：ヴェルマ関係）が標準的な条件付き独立性の検出では検出できないこと、代数的解析（例：有理パラメータ化と消去）が不可欠であることを示している。